Zad. 1. Średnia wieku Joasi i Wojtka jest o rok większa niż średnia wieku Kasi i Jurka. Gdyby Joasia była starsza od Jurka o tyle, o ile Kasia jest starsza od Wojtka, to średnia wieku chłopców byłaby równa średniej wieku dziewcząt. Kto jest starszy i o ile lat: Josia czy Jurek?
Zad. 2. Wskazówka minutowa ma długość 8 cm, a godzinowa 6 cm. W jakim czasie koniec wskazówki minutowej przebywa drogę o 6π cm dłuższą niż koniec wskazówki godzinowej?
Zad. 3. Znajdź ułamki nieskracalne p/q (właściwe lub niewłaściwe) o liczniku i mianowniku dwucyfrowym takie, że po dodaniu 5 do licznika ułamka p/q otrzymujemy ułamek, który można skrócić przez 7, a po dodaniu 7 do mianownika ułamka p/q otrzymujemy ułamek, który można skrócić przez 5.
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Emilia Cichowska II LO Lubin, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Wiktoria Prokop II LO Głogów, Wojciech Raszczuk I LO Bolesławiec, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra;
- 2 – Julia Leśniak LO Brzeg Dolny;
- 1 – Karol Czajka II LO Oleśnica Piotr Chybalski ZSP Kleszczów, Monika Rębacz XX LO Łódź.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez a wiek Joasi, przez k - wiek Kasi, przez w – wiek Wojtka, a przez j – wiek Jurka. Z treści zadania zachodzi równość [tex] \frac{a+w}{2}=\frac{k+j}{2}+1 [/tex]. Gdyby Joasia miała j+(k–w) lat, to zachodziłaby równość [tex] \frac{j+k-w+k}{2}=\frac{j+w}{2} [/tex], skąd k=w. Po podstawieniu do pierwszej równości w w miejsce k otrzymujemy [tex] \frac{a+w}{2}=\frac{w+j}{2}+1 [/tex], skąd a = j+2. Joasia jest starsza od Jurka o 2 lata.
Zad. 2. Oznaczmy przez t szukany czas w minutach. Podczas t minut koniec wskazówki minutowej pokonał drogę [tex] \frac{t}{60}\cdot2\pi \cdot8=\frac{4}{15}\pi t [/tex], a koniec godzinowej - drogę [tex] \frac{t}{60}\cdot\frac{1}{12}\cdot2\pi \cdot6=\frac{1}{60}\pi t [/tex]. Z treści zadania otrzymujemy równanie [tex] \frac{4}{15}\pi t-\frac{1}{60}\pi t=6\pi [/tex], skad t=24. Miną 24 minuty.
Zad. 3. Mają zachodzić następujące podzielności: 7|(p+5), 7|q, 5|p i 5|(q+7). Liczba p jest podzielna przez 5, a liczba p+5 jest podzielna przez 7, czyli p+5 to wielokrotność siódemki o cyfrze jedności 0 lub 5. Ponieważ p jest dwucyfrowa, zachodzi p=30 lub p=65. Liczba q jest podzielna przez 7, a liczba q+7 jest podzielna przez 5, czyli q+7 to wielokrotność piątki. Ponieważ q jest dwucyfrowa, zachodzi q=28, q=63 lub q=98. Otrzymujemy następujące ułamki: [tex]\frac{30}{28},\frac{30}{63},\frac{30}{98},\frac{65}{28},\frac{65}{63},\frac{65}{98} [/tex]. Po odrzuceniu tych skracalnych otrzymamy jako rozwiązanie: [tex]\frac{65}{28},\frac{65}{63},\frac{65}{98} [/tex].
