Zad. 1. Liczbę pierwszą nazwiemy noworoczną, jeżeli jest dzielnikiem liczby n2+n0+n22 dla pewnej liczby naturalnej n. Wykaż, że liczb noworocznych jest nieskończenie wiele.
Zad. 2. Punkt D jest środkiem boku BC trójkąta równobocznego ABC. Na odcinku AD zaznaczono punkt E. Punkt F umieszczono zaś w taki sposób, by zachodziła równość |BE|=|EF|=|FA|, przy czym C oraz F leżą po tej samej stronie prostej AD. Wyznacz miarę kąta CBF.
Zad. 3. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych (x, y) spełniające jednocześnie oba poniższe równania.
Punkty za zadania styczniowe zdobyli:
- 17 - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
- 6 - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
Klasyfikacja generalna po 4 miesiącach Ligi:
- 39 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
- 38 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
- 12 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno)
Zad. 1. Dowód przebiega podobnie jak dowód faktu, że wszystkich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Załóżmy bowiem, że liczb noworocznych jest skończenie wiele. Pomnóżmy je wszystkie i otrzymany iloczyn oznaczmy przez m. Teraz zastanówmy się, jakie własności ma liczba m22+m0+m2 = m22+m2+1. Po pierwsze, każdy jej dzielnik pierwszy jest liczbą noworoczną (z definicji). Po drugie, nie jest ona podzielna przez m. Nie jest zatem podzielna przez żadną liczbę noworoczną. Ale przecież musi mieć jakieś dzielniki pierwsze. Otrzymaliśmy więc sprzeczność, do której doprowadziło błędne założenie. Liczb noworocznych musi być nieskończenie wiele.
Zad. 2. Oznaczmy przez S środek okręgu opisanego na trójkącie AEC. Trójkąt ESC jest równoboczny,z czego wynika, że spełnia on założenia z zadania dotyczące punktu F, więc F=S. Ponadto A, C są symetryczne względem prostej BS, więc szukany kąt to połowa kąta w trójkącie równobocznym, czyli 30°.
Zad. 3. Pomnóżmy drugie równanie przez x i dodajmy oba równania stronami. Otrzymamy równość x2+3y−3x−xy = 0, czyli (x−y)(x−3) = 0. Zatem x=3 lub x=y. W pierwszym przypadku podstawiamy wartość niewiadomej x do pierwszego równania z układu, otrzymując y=1/3. W drugim przypadku pierwsze równanie przyjmuje postać x2 + 3x = 10, czyli po rozłożeniu na czynniki (x+5)(x−2) = 0, a więc x=y=-5 lub x=y=2. Pozostaje tylko sprawdzić, że wszystkie trzy potencjalne rozwiązania faktycznie spełniają układ równań.
