Zad. 1. Joasia obchodzi urodziny 30 kwietnia. Ponieważ urodziła się w poniedziałek, od jakiegoś czasu uznaje za swój szczęśliwy dzień ten, w którym trzydziesty dzień miesiąca wypada właśnie w poniedziałek. Rok 2020 rozpoczął się we wtorek. Czy w 2020 roku Josia miała choćby jeden swój szczęśliwy dzień? Uzasadnij obliczenia, nie zaglądając do kalendarza na rok 2020.
Zad. 2. Zginając prostokątną kartkę 5 razy wzdłuż dłuższego boku i 4 razy wzdłuż krótszego, origamista Olek otrzymał kwadrat. Obwód niezgiętej kartki wynosił 378 cm. Jaką długość miał jej krótszy bok?
Zad. 3. Franek wypisał po kolei wszystkie liczby całkowite od 1 do 2021. Ile razy użył cyfry 0?
W październiku punkty zdobyli:
- 3 – Aleksandra Besuch SP 64 Wrocław, Natalia Czurejno SP Wykroty, Mirosław Gruszczyński SP 9 Gliwice, Paweł Kubisztal SP 2 Wieliczka, Wiktor Kuczaj SP 7 Nowa Ruda, Aleksander Masztalski SP 3 Mikołów, Piotr Szczygieł SP Świerże Górne, Wiktor Szwarczyński SP Mieroszów,
- 2 – Piotr Barcentewicz SP 26 Kraków, Maria Bochenek SP Mieroszów, Jan Licznarowski SP 66 Warszawa, Emanuel Łukowski SP Tyniec Mały, Paulina Nowak SP 5 Kędzierzyn-Koźle, Dawid Szaniawski SP Łęczna, Leon Wilczyński SP 113 Wrocław, Michał Żak SP Omega Katowice,
- 1,5 – Ada Bartoszewska SP ZOK "Profesor" Płock, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław,
- 1 – Żaneta Czyżyk SP 5 Kędzierzyn-Koźle, Magdalena Dudzik SP 11 Poznań, Nadia Grabowska SP Jedlnia Letnisko, Nina Grzesiak SP 2 Wieliczka, Adam Kosek SP 33 Wrocław, Stanisław Machaj SP 64 Wrocław, Alicja Picińska SP 64 Wrocław, Teresa Szulik SP dla Dziewcząt "Płomień" Katowice, Hanna Tichoniuk SP 4 Hajnówka, Milena Żaczek SP Jedlnia Letnisko.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ponumerujmy kolejne dni roku 2020 roku od 1 do 366. Z treści zadania wynika, że pierwszy poniedziałek w 2020 roku wypadł 7 stycznia, więc kolejne 14, 21 i 28 stycznia. Poniedziałki przypadają w te dni roku, których numer dzieli się przez 7.
- 30 lutego – nie ma takiej daty,
- 30 marca jest (31+29+30) 90. dniem roku i 90 nie dzieli się przez 7,
- 30 kwietnia jest (91+30) 121. dniem roku i 121 nie dzieli się przez 7,
- 30 maja jest (121+30) 151. dniem roku i 151 nie dzieli się przez 7,
- 30 czerwca jest (152+30) 182. dniem roku i 182 dzieli się przez 7,
- 30 lipca jest (182+30) 212. dniem roku i 212 nie dzieli się przez 7,
- 30 sierpnia jest (213+30) 243. dniem roku i 243 nie dzieli się przez 7,
- 30 września jest (244+30) 274. dniem roku i 274 nie dzieli się przez 7,
- 30 października jest (274+30) 304. dniem roku i 304 nie dzieli się przez 7,
- 30 listopada jest (305+30) 335. dniem roku i 335 nie dzieli się przez 7,
- 30 grudnia jest (335+30) 365. dniem roku i 365 nie dzieli się przez 7.
Joasia miała swój szczęśliwy dzień 30 czerwca 2020.
Zad. 2. W treści zadania nie opisano precyzyjnie sposobu zginania kartki. Zabrakło informacji, że zagięto ją odpowiednią liczbę razy na równe części. Wtedy byłoby jasne, że chodzi o zginanie "w harmonijkę". Być może z tego powodu część osób zaginała kartkę wielokrotnie na połowy (choć o tym w treści zadania też nie było mowy). Uznawaliśmy za poprawne oba rozwiązania. Oznaczmy przez x długość boku kwadratu otrzymanego w wyniku zgięć kartki. W pierwszym przypadku długość kartki wynosi 6x, a szerokość 5x, zatem obwód kartki jest równy 22x = 378 cm, skąd x = 378/22 cm, a więc szerokość kartki wynosi 378/22·5 = 8510/11 cm. W drugim przypadku dłuższy bok został podzielony na 32 części (= 2·2·2·2·2), a krótszy na 16 części (2·2·2·2), długość kartki wynosi zatem 32x, a szerokość 16x, czyli obwód kartki wynosi 96x = 378 cm, a stąd x = 3,9375 cm, więc krótszy bok ma długość 3,9375·16 = 63 cm.
Zad. 3. Wśród liczb od 1 do 2021 cyfra zero wystąpi:
- Jako cyfra jedności w każdej z setek od 1 do 2000 po 10 razy, czyli 20·10 = 200 razy i jeszcze 2 razy w liczbach 2010 i 2020.
- Jako cyfra dziesiątek w każdej z setek od 100 do 1999 po 10 razy, czyli 19·10 = 190 razy i jeszcze 10 razy w liczbach 2000, 2001, ..., 2009.
- Jako cyfra setek 100 razy od 1000 do 1099 i jeszcze 22 razy w liczbach od 2000 do 2021.
Łącznie cyfra zero wystąpi 202+200+100+22 = 524 razy.
