Zad. 1. Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania 2n3–m3 = 2021. Wskazówka: jest ich bardzo mało.
Zad. 2.Wyznacz drugą pod względem wielkości liczbę naturalną mającą dokładnie 2021 dzielników.
Zad. 3. Z szachownicy 10×10 usuwamy dowolne czarne i białe pole. Czy zawsze da się tę szachownicę pokryć (w sposób rozłączny) kostkami domina o wymiarach 2×1, niezależnie od tego, które pola usunięto?
2021 = 2025 - 4 = 452 – 22 = (45–2)(45+2) = 43·47
- 8 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
- 5 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
Zad. 1. Rozważmy reszty z dzielenia obu stron równania przez 9. Liczba 2021 daje resztę 5. Sześciany liczb całkowitych dają z dzielenia przez 9 reszty -1, 0 lub 1 (dlaczego?), zatem równość nie może zajść nigdy.
Zad. 2. Aby łatwo policzyć dzielniki liczby naturalnej, rozkładamy ją na czynniki pierwsze. Wówczas liczba dzielników to iloczyn powiększonych o jeden wykładników, w jakich występują czynniki tego rozkładu (dlaczego?). Ponieważ 2021 = 43·47, najmniejsza liczba o dokładnie 2021 dzielnikach to 246· 342, a druga pod względem wielkości to 346·242.
Zad. 3. Ustawiamy na szachownicy nieprzekraczalną barierę, zgodnie z rysunkiem. Rozpoczynamy układanie kostek domina od pola sąsiadującego z usuniętym. Jest to możliwe, gdyż między polami o różnych kolorach znajduje się parzyście wiele pól.
Rozwiązanie zadania nr 2
Czy aby 22020 nie ma też 2021 dzielników?
Drugą pod względem wielkości liczbą o 2021 dzielnikach będzie więc 246·342.