Zad. 1. Wykaż, że jeśli zachodzi równość mp = 2(n+q), to przynajmniej jedno z równań x2+px+q = 0 i x2+mx+n = 0 ma pierwiastek.
Zad. 2. Pewne cztery proste na płaszczyźnie wyznaczają cztery trójkąty. Wykaż, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.
Zad. 3. Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalny m i n zachodzi nierówność [tex]\left| \sqrt{2} - \frac{m}{n}\right| > \frac{1}{4n^2}[/tex].
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 20 - Miłosz Zajdel (I LO Krosno), Radosław Górzyński (I LO Lubin),
- 10 - Julia Śnieżek (I LO Nysa).
Zad. 1. Przypuśćmy, że żadne z tych dwóch równań nie ma rozwiązania. Wtedy odpowiadające im wielomiany mają ujemne wyznaczniki, czyli zachodzą nierówności: p2 < 4q i m2 < 4n. Z nierówności między średnimi potęgowymi otrzymujemy nierówność pm < 2(q+n) sprzeczną z założeniami zadania.
Zad. 2. Oznaczmy proste z zadania przez 1, 2, 3, 4, a ich przecięcia w następujący sposób: A=1·2, B=2·3, C=3·4, D=4·1, E=3·1, F=2·4, przy czym na przykład A będzie oznaczało punkt wspólny prostych 1 i 2 lub odpowiedni kąt pomiędzy nimi (w zależności od kontekstu). Zauważmy, że A+B+C+D = 180°. Rozważmy punkt wspólny okręgów opisanych na trójkątach ABE i APF - nazwijmy go X. Stosując twierdzenie o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku dla odpowiednich okręgów dostajemy ciąg równości: ∡EXP = ∡FXP–∡FXA–∡AXE = (B+C+D)–D–B = C = ∡ECP, który dowodzi że X leży na okręgu opisanym na trójkącie ECP. Analogicznie uzasadniamy, że X leży na okręgu opisanym na trójkącie FCB.
Zad. 3. Zauważmy, że [tex]|\sqrt{2}-\frac{m}{n}|=\frac{|2n^2-m^2|}{n(\sqrt{2}n+m)} \ge \frac{1}{n(\sqrt{2}n+m}[/tex]. Jeżeli dla pary (m, n) zachodzi nierówność [tex]\frac{m}{n} < 4 - \sqrt{2}[/tex], to [tex]\frac{1}{n(\sqrt{2}n+m} > \frac{1}{4n^2}[/tex]. Jeśli zachodzi nierówność przeciwna, to [tex]\left| \sqrt{2} - \frac{m}{n}\right| > \frac{m}{n} - \sqrt{2} \ge 4 - 2\sqrt{2} > \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4n^2}[/tex].
