Zad. 1. Niech p, q będą ośmiocyfrowymi liczbami pierwszymi różniącymi się o 2. Wykaż, że ich suma jest podzielna przez 12.
Zad. 2. Znajdź wszystkie naturalne dodatnie rozwiązania równania x+y+z=xyz.
Zad. 3. Na tablicy napisano siedem kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że istnieje liczba pierwsza stanowiąca dzielnik dokładnie jednej z nich.
Punkty za zadania marcowe zdobyli:
- 18 pkt - Aleksander Porębny,
- 17 pkt - Jan Ząbkiewicz,
- 14 pkt - Igor Sudyka,
- 6 pkt - Monika Budzeń.
Klasyfikacja generalna po sześciu miesiącach Ligi wygląda następująco:
- I m. 68 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław),
- II m. 65 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło),
- III m. 35 pkt - Jan Ząbkiewicz (KSP Gdynia),
- IV m. 18 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno)
Zad. 1. Wiemy, że każda liczba pierwsza większa od 5 ma postać 6k+5 lub 6k+1 dla k naturalnych.
Jeśli mamy dwie liczby pierwsze ośmiocyfrowe o różnicy 2, to muszą być one kolejno postaci
6k+5 i 6(k+1)+1. Ich suma to 12(k+1), więc jest podzielna przez 12.
Zad. 2. Jeśli liczby x, y, z będą większe od 1, to xyz > x+y+z, co jest sprzeczne z warunkami zadania. Wobec tego wśród liczb x, y, z są trzy lub dwie jedynki, albo jedna jedynka.
a) To nie mogą być trzy jedynki (dlaczego?).
b) Gdybyśmy mieli dwie jedynki (bez straty ogólności możemy przyjąć, że jedynkami są y i z), to x+2 = x, co daje sprzeczność.
c) Wśród liczb x, y, z jest dokładnie jedna jedynka (bez straty ogólności przyjmijmy, że z=1 oraz x≥y). Wtedy x+y+1 = xy, czyli 2 = xy–x–y+1, a więc 2 = (x–1)(y–1). Ponieważ w nawiasach muszą być liczby naturalne, x=3, y=2, z=1. Rozwiązań jest ostatecznie sześć, a stanowią je liczby 1, 2, 3 w różnej kolejności.
Zad. 3.
Wśród siedmiu kolejnych liczb całkowitych znajduje się dokładnie jedna podzielna przez 7, a każda reszta z dzielenia przez 7 występuje dokładnie raz, co daje tezę.
