Zad. 1. Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych, których średnia geometryczna różni się od średniej arytmetycznej o 1.
Zad. 2. Trójkąt równoboczny podzielono na szesnaście małych trójkącików równobocznych. Jaka jest najmniejsza liczba punktów, które trzeba pokolorować na czerwono, aby każdy trójkącik miał przynajmniej jeden czerwony wierzchołek?
Zad. 3. Na tablicy napisano sześć kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że istnieje liczba pierwsza stanowiąca dzielnik dokładnie jednej z nich.
W tym miesiącu 10 pkt. zdobył Aleksander Porębny.
Klasyfikacja generalna:
I m. 78 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław),
II m. 65 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło),
III m. 35 pkt - Jan Ząbkiewicz (KSP Gdynia),
IV m. 18 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno).
Zad. 1. Równoważnie x+y–2√xy = 2, czyli (√x–√y)2 = 2, a więc |√x–√y| = √2. Warunki zadania spełniają wszystkie takie pary liczb, których pierwiastki kwadratowe różnią się o √2.
Zad. 2. Trójkąty narożne trzeba jakoś pokolorować - jeden wierzchołek każdego z nich musi być więc czerwony. Nietrudno sprawdzić, że niezależnie od tego, który wierzchołek którego naroża pokolorujemy, pozostała część trójkąta da się pokolorować przy użyciu dwóch punktów, zatem odpowiedż to pięć.
Zad. 3. Zauważmy, że jeśli któraś z wypisanych liczb jest podzielna przez liczbę pierwszą większą od 6, to żadna inna nie jest. Jeśli n nie jest podzielna przez 5, to nie ma czego dowodzić. Jeśli zaś jest, to zauważmy, że wśród liczb n+1, ..., n+4 dokładnie dwie są podzielne przez dwa i co najwyżej dwie są podzielne przez trzy, ale jeśli dwie są podzielne przez trzy, to jedna z nich jest parzysta, zatem wśród wszystkich sześciu liczb istnieje taka, która nie jest podzielna przez 2, 3 ani 5, zatem jest podzielna przez jakąś większą liczbę pierwszą jako jedyna.
