Zad. 1. W turnieju ping-ponga, w którym każdy zawodnik grał z każdym, uczestniczyli zawodnicy polscy i chińscy. Po zakończeniu turnieju okazało się, że każdy uczestnik połowę uzyskanych punktów zdobył, grając z zawodnikami chińskimi. Za zwycięstwo zawodnik otrzymuje 1 punkt, za przegraną 0, remisów zaś nie było. Udowodnij, że liczba wszystkich uczestników turnieju była kwadratem liczby naturalnej.
Zad. 2. Niech P(X) będzie trójmianem kwadratowym o współczynnikach całkowitych. Niech f będzie funkcją wielomianową określoną dla całkowitych n jako f(n) = P(1) + P(2) + ... + P(n). Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej k liczba f(k) + f(k+4) jest parzysta.
Zad. 3. Dodatnie liczby rzeczywiste x, y spełniają równość x + y = 2√(xy+25). Udowodnij, że co najmniej jedna z nich nie jest wymierna.
