Zad. 1. Podczas zabawy w głuchy telefon uczniowie zaczęli od wielomianu x2+3x+15, który podczas przebiegu zabawy był przekręcany jedynie poprzez zmianę o 1 współczynnika przy x lub zmianę o 1 wyrazu wolnego. Ostatni z uczestników usłyszał wielomian x2+13x+5. Udowodnij, że któraś z osób usłyszała wielomian o obu pierwiastkach całkowitych.
Zad. 2. Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Niech S oznacza pole trapezu, a S1 i S2 - pola trójkątów u jego podstaw. Wykaż, że √S = √S1 + √S2.
Zad. 3. Czy szachownicę 10×10 da się szczelnie pokryć L-tetraminami (tj. klockami w kształcie litery L złożonymi z czterech kwadratów 1×1)?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 10 + 10 + 10 = 30
Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 10 + 10 + 10 = 30
Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 10 + 10 + 10 = 30
Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra): 10 + 10 + 5 = 25
Gratulacje!
Zad. 1. Zauważmy, że podczas każdego ruchu, uczniowie zmieniają wartość wielomianu dla x = -1 o 1 lub -1. Początkowy wielomian ma w (-1) wartość 12, natomiast końcowy (-7). Zatem w pewnym momencie na tablicy był napisany wielomian, który dla (-1) przyjmował wartość 0. Trójmian kwadratowy o współczynnikach całkowitych i jednym pierwiastku całkowitym ma oba pierwiastki całkowite, jeżeli tylko przy x2 jest współczynnik równy 1.
Zad. 2. Niech a i b oznaczają długości podstaw trapezu, zaś h i k - wysokości odpowiadających im trójkątów. Wówczas 2S = (a+b)(h+k), 2S1 = ah, 2S2 = bk. Z podobieństwa mamy ak = bh. Oznaczmy przez t skalę tego podobieństwa. Wóczas a = tb, h = tk. Wobec tego 2S = (t+1)2bk, 2S1 = t2bk, 2S2 = bk, skąd otrzymujemy szukaną równość.
Zad. 3. Pokolorujmy szachownicę wierszami, tak by pierwszy od dołu wiersz był biały, drugi czarny itd, aż dziesiąty by był czarny. Każde L-tetramino pokrywa jedno bądź trzy czarne pola. Pól pokolorowanych na czarno jest 50. Do szczelnego pokrycia planszy potrzeba 25 klocków. Ponieważ suma dwudziestu pięciu liczb nieparzystych jest nieparzysta, to L-tetramina pokrywałyby nieparzystą liczbę pól czarnych, co przeczy możliwości pokrycia szachownicy.
