W maju proponujemy do rozwiązania trzy zadania znane z historii matematyki. Podaj ich rozwiązania oraz autorów, którym te zadania są tradycyjnie przypisywane.
Zad. 1. Na pewnym pastwisku mogłoby się paść 60 krów przez 14 dni albo 50 krów przez 28 dni. Ile krów mogłoby się na nim paść stale dzięki równomiernie odrastającej trawie?
Zad. 2. Brygada kosiarzy miała skosić dwie łąki, przy czym pole pierwszej było dwukrotnie większe od pola drugiej. Cały zespół kosił przez pół dnia pierwszą łąkę, a w drugiej połowie dnia kosiarze podzielili się na dwie równe grupy. Pierwsza w dalszym ciągu kosiła pierwszą łąkę i do końca dnia skończyła ją kosić, a druga grupa kosiła mniejszą łąkę, ale nie zdążyła jej skosić do końca dnia. Resztę drugiej łąki skosił drugiego dnia jeden kosiarz i zajęło mu to cały dzień. Z ilu osób składała się brygada kosiarzy?
Zad. 3. Dwie gospodynie sprzedały na targu łącznie 100 jaj, i chociaż każda z nich sprzedała inną ich liczbę, sprzedały jajka za taką samą kwotę.
- Gdybym ja sprzedała twoje jajka, utargowałabym 15 grajcarów – powiedziała pierwsza gospodyni.
- Gdybym ja sprzedawała twoje jajka, to otrzymałabym za nie 6 i 2/3 grajcara – odpowiedziała druga.
Ile jajek sprzedała każda z nich?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy, Bolesław Mokrski - emerytowany nauczyciel,
- 2,5 - Ignacy Włodarski - SP 36 Wrocław,
- 2 - Daria Bumażnik - chemik z Piechowic.
Zad. 1. Zadanie Isaaca Newtona z "Arithmetica Universalis" (1707). Na pastwisku mogłoby się paść stale 40 krów. Niech bowiem:
z - trawa, jaką krowa zjada dziennie
o - trawa, jaka odrasta dziennie
k - szukana liczba krów
Wiemy, że:
60·14z = 14o
50·28z = 28o
Odejmując równania stronami, otrzymamy 560z = 14o, zatem o = 40z. Wiemy jednak, że o = kz, zatem k = 40.
Zad. 2. Zadanie Lwa Tołstoja. Brygada kosiarzy składała się z 8 osób. Niech bowiem:
x - liczba kosiarzy w brygadzie
w - dzienna wydajność kosiarza
p1, p2 - pola odpowiednich łąk
Mamy: p1 = 2p2
1/2xw + 1/4xw = 3/4 xw= p1
1/4xw + w = p2, czyli w = p2 : (1+1/4x).
Podstawiając do I warunku, otrzymujemy 2p2 = 3/4 x·(p2 : (1+1/4x)).
Po podzieleniu obu stron równania przez p2 i uproszczeniu otrzymamy x=8.
Zad. 3. Zadanie Leonarda Eulera ze "Wstępu do algebry". Jedna gospodyni sprzedała 40 jajek, a druga 60. Niech:
x - cena jaja pierwszej gospodyni
y - cena jaja drugiej gospodyni
l1 - liczba jaj pierwszej gospodyni
100–l1 -liczba jaj drugiej gospodyni
Mamy:
l1x = (100−l1)y
(100−l1)x = 15, czyli x = 15:(100−l1)
l1y = 20/3, czyli y = 20/3l1
Po podstawieniu x i y do I równania mamy 40000 − 400l1− 400l1 + 4l1² = 9l1²,
a jedynym pierwiastkiem dodatnim tego równania jest l1=40.
