Miniwykład o wzorze Fishera
Zmiany ilości kapitału, które obserwujemy w otaczającej nas rzeczywistości gospodarczej, nazywamy nominalnymi. Jeśli wyeliminujemy z tych zmian inflację, czyli czynnik, o jaki zmieniają się ceny towarów i usług, to otrzymamy realne zmiany ilości kapitału na rynku. Zmiany te określa ich stopa procentowa. Amerykański ekonomista i statystyk Irving Fisher pierwszy wprowadził rozróżnienie między realną stopą procentową ir oraz nominalną stopą procentową in. Powiązał je ze stopą inflacji ii za pomocą równania, które nazywane jest dziś jego imieniem:
[tex]i_r = \frac{i_n - i_i}{1+i_i}[/tex].
Mówi ono, że realna zmiana ilości kapitału jest zmianą nominalną pomniejszoną o inflację w stosunku do tempa tej inflacji.
Przykład 1. Porównaj wartości nominalnej i realnej stopy procentowej przy dodatniej inflacji.
Rozwiązanie. Jeśli ii>0, to mianownik wzoru Fischera jest większy od 1, zatem ir jest mniejsze od licznika, czyli ir < in- ii lub inaczej ir+ii< in. Stąd przy dodatniej stopie inflacji nominalna stopa procentowa jest większa niż stopa realna powiększona o stopę inflacji.
Przykład 2. Waloryzacja rent i emerytur w 2014 roku (czyli podwyżka rekompensująca wzrost cen za rok 2013) wyniosła 1,6% (czyli 1,6/100 = 16/1000), natomiast stopa inflacji w 2013 roku w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów wyniosła 1,1% (czyli 1,1/100 = 11/1000). Oblicz realną stopę procentową, o jaką wzrosły renty i emerytury w 2014 roku.
Rozwiązanie. Podstawiając powyższe dane do wzoru Fishera, dostajemy
[tex]i_r = \frac{\frac{16}{1000} - \frac{11}{1000}}{1+\frac{11}{1000}} = \frac{\frac{5}{1000}}{\frac{1011}{1000}} = \frac{5}{1011} \approx \frac{49}{10000} = \frac{0,49}{100}[/tex].
Oznacza to, że renty i emerytury realnie wzrosły w 2014 roku o około 0,49%.
Mnożąc obie strony wzoru Fishera przez 1+ii, otrzymujemy ir + ir·ii = in- ii. Jeśli inflacja jest bardzo mała (wartość ii jest bliska 0), to składnik ir·ii jest także bardzo mały (dużo mniejszy niż ir) i możemy go pominąć. Prowadzi to do przybliżonego wzoru Fishera: ir ≈ in - ii. Wzór ten pozwala na szybkie obliczenie realnej stopy procentowej jako różnicy nominalnej stopy procentowej i stopy inflacji.
Przykład 3. Oblicz dokładną oraz przybliżoną wartość realnej stopy procentowej dla inwestycji z nominalną stopą procentową równą 3% przy 2% inflacji.
Rozwiązanie. Z przybliżonego wzoru Fishera dostajemy przybliżoną realną stopę procentową równą różnicy stopy nominalnej i stopy inflacji, czyli 1% (3/100 - 2/100), a wartość dokładna jest mniejsza i wynosi ir=0,01/1,02≈0,0098, czyli 0,98%.
[koniec wykładu dla GIM]
Wzór Fishera możemy przekształcić do równoważnej postaci, dodając i odejmując jedynkę w liczniku ułamka:
[tex]i_r = \frac{i_n - i_i+1-1}{1+i_i}=\frac{1+i_n -(1+ i_i)}{1+i_i}=\frac{1+i_n}{1+ i_i}-1[/tex]. Stąd [tex]i_r +1 = \frac{1+i_n }{1+i_i}[/tex].
Jeśli teraz przez K oznaczymy kapitał włożony np. na lokatę bankową, to nominalna wartość lokaty na koniec okresu jej trwania wynosi Kn = K·(1+in), natomiast realna wartość lokaty to Kr = K·(1+ir) = K·(1+in)/(1+ii) = Kn/(1+ii). Analogicznie obliczamy dwa typy odsetek od lokaty: odsetki nominalne to On = K·in = Kn- K, natomiast odsetki realne to Or = On/(1+ii).
Zadanie 1. Kiedy nominalna stopa procentowa jest równa realnej stopie procentowej? Porównaj te wartości, jeśli na rynku będziemy mieli do czynienia z deflacją (spadkiem cen towarów i usług), czyli kiedy ii będzie ujemne.
Zadanie 2. W 2013 roku waloryzacja rent i emerytur (za rok 2012) wyniosła 4%. Oblicz realną stopę procentową tej waloryzacji w dwóch przypadkach, przy stopie inflacji w 2012 roku wynoszącej:
- 4% w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów
- 3,7% we wszystkich gospodarstwach domowych.
Zadanie 3. Ile powinna wynosić stopa waloryzacji w 2014 roku, aby realna stopa procentowa wyniosła 1%?
Zadanie 1. W Abacji stopa inflacji wynosi 5%. Minister obrony chciałby realnego wzrostu wydatków budżetowych na wojsko przynajmniej o 8%. Oblicz dokładną wartość nominalnej stopy procentowej, która zadowoli ministra.
Zadanie 2. Wydatki na oświatę w gminie Smardzów wynoszą 5,6 mln zł. W przyszłym roku nominalna stopa procentowa wzrostu wydatków na oświatę ma wynieść 2,5%, a przewidywana stopa inflacji 3%. Oblicz przybliżoną i dokładną wartość realnej stopy procentowej wzrostu wydatków oświatowych w Smardzowie.
Zadanie 3. Roczny kredyt oprocentowany w wysokości 7% został spłacony w terminie. W tym czasie miała miejsce deflacja wynosząca -0,4%. Oblicz realną stopę procentową tego kredytu. Skomentuj wynik.
Zadanie 1. Przedstaw wykres zależności ir w zależności od ii przy ustalonej nominalnej stopie procentowej dla wzoru dokładnego i przybliżonego. Skomentuj wynik.
Zadanie 2. Oprocentowanie lokaty bankowej wynosi w pierwszym półroczu 1%, a w drugim półroczu 2%. Oblicz nominalną i realną wartość lokaty na koniec roku, jeśli stopa inflacji wynosiła w obu półroczach po 1,5%, a włożony na lokatę kapitał to 5000 zł.
Zadanie 3. Nominalna wartość lokaty równa się sumie kapitału włożonego oraz nominalnych odsetek. Czy realna wartość lokaty równa się sumie kapitału włożonego i realnych odsetek? Czy kwotę realnych odsetek można obliczyć, mnożąc włożony kapitał przez ir?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa, Magdalena Dudek SP 66 Warszawa, Magdalena Kania SP 66 Warszawa, Natalia Kiszkowiak SP 66 Warszawa i Katarzyna Piwowarska SP 66 Warszawa,
- 2,5 pkt. - Krystian Boryczka SP 2 Syców, Kornelia Droga SP 2 Syców i Bogdan Kuśmierczyk SP 24 Wrocław,
- 2 pkt. - Kacper Kobyłecki SP "Oxpres" Bolesławiec i Agnieszka Rachel ZSS Namysłów,
- 1,5 pkt. - Szymon Kuczkowski SP 5 Słupsk i Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po ośmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 22,5 pkt. (na 24 możliwych) prowadzi Katarzyna Piwowarska z SP 66 w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Anna Łeń GM 1 Łódź, Michał Stempniak GM Sióstr Salezjanek Ostrów Wielkopolski, Kacper Toczek GM 2 Wołów i Wojciech Wiśniewski GM 3 Giżycko,
- 2,5 pkt. - Tomasz Kuśmierczyk GM 9 Wrocław,
- 0,5 pkt. - Mateusz Łopuszyński GM 6 Chełm.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po ośmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej wynikiem 22,5 pkt. (na 24 możliwych!) prowadzi Joanna Lisiowska z Katolickiego Zespołu Edukacyjnego w Warszawie. Gratulujemy!
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 2,5 pkt. - Dominika Nowak ZS nr 1 Ostrzeszów,
- 2 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław i Kinga Kurzawa ZS nr 1 Ostrzeszów,
- 1,5 pkt. - Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 1 pkt. - Daria Bumażnik II LO Jelenia Góra.
Pozostałym uczestnikom Ligi nie przyznano punktów.
Po ośmiu miesiącach Ligi z Matematyki Finansowej z wynikiem 21,75 pkt. (na 24 możliwych!) prowadzi Tomasz Stempniak z I LO w Ostrowie Wielkopolskim. Gratulujemy!
Zad. 1. Nominalna stopa procentowa jest równa realnej stopie procentowej tylko wtedy, gdy stopa inflacji jest równa zero, czyli gdy inflacja nie występuje. W przypadku deflacji mianownik we wzorze Fishera będzie mniejszy od 1, dlatego ir będzie większe od licznika, czyli ir > in-ii, a ponieważ ii<0, ir > in. Zatem w przypadku deflacji realna stopa procentowa jest większa od nominalnej stopy procentowej.
Zad. 2. W pierwszym przypadku realna stopa procentowa waloryzacji wynosi 0%, ponieważ nominalna stopa procentowa i stopa inflacji są równe, więc licznik we wzorze Fishera jest równy 0. W drugim przypadku mamy
[tex]i_r = \frac{\frac{40}{1000} - \frac{37}{1000}}{1+\frac{37}{1000}} =
\frac{\frac{3}{1000}}{\frac{1037}{1000}}[/tex]= 3/1037 ≈ 29/10000 = 0,29/100, czyli 0,29%.
Zad. 3. Z przykładu 2 wiemy, że stopa inflacji w 2013 roku w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów wyniosła 1,1%. Przekształcamy wzór Fishera do postaci in-ii = ir·(1+ii) i dalej do postaci in = ir·(1+ii)+ii. Teraz wystarczy podstawić do tego wzoru i otrzymamy [tex]i_n=\frac{10}{1000}\cdot(1+\frac{11}{1000})+\frac{11}{1000}[/tex]= 21,11/1000 = 2,111/100. Zatem stopa waloryzacji w 2014 roku powinna wynosić 2,111%, aby realna stopa procentowa wyniosła 1%.
Zad. 1. Przekształcamy wzór Fishera do postaci in = ir·(1+ii)+ii. Po podstawieniu do tego wzoru wartości liczbowych dostajemy in = 0,08·(1+0,05)+0,05 = 0,134. Czyli ministra obrony zadowoli nominalny wzrost nakładów na obronę o przynajmniej 13,4%.
Zad. 2. Wartość przybliżona realnej stopy procentowej to ir ≈ 0,025-0,03 = -0,005, co oznacza realny spadek nakładów na oświatę o 0,5%. Wartość dokładna to ir = (0,025-0,03)/(1+0,03) ≈ -0,00485, co również oznacza spadek nakładów na oświatę, ale o 0,485%. Obie stopy dają zmianę nakładów na oświatę różniącą się o 815,53 zł.
Zad. 3. Realna stopa oprocentowania tego kredytu wynosi ir = (0,07-0,004)/(1+0,004) ≈ 0,07429, czyli i około 7,43%. Oznacza to, że w przypadku deflacji kredyt jest realnie droższy niż podana stopa nominalna. Dlatego w przypadku inwestycji należy zawsze obliczać ich realną stopę procentową.
Zad. 1. Przy ustalonej stopie nominalnej wzór przybliżony na realna stopę procentową to funkcja liniowa, np. ir(ii) = 0,1-ii (wykres niebieski). Natomiast wzór dokładny przy ustalonej stopie nominalnej to funkcja wymierna, np. ir(ii) = (0,1-ii)/(1+ii) (wykres czerwony). Dla 0<ii<in wykres dla wzoru przybliżonego leży powyżej wykresu dla wzoru dokładnego, czyli mamy do czynienia z zawyżonymi przybliżeniami. Dla -1<ii<0 i in<ii mamy do czynienia z sytuacją odwrotną: wykres dla wzoru dokładnego leży powyżej wykresu dla wzoru przybliżonego, czyli mamy do czynienia z zaniżonymi przybliżeniami. Wykresy przecinają się dla ii=0 i ii=in.
Zad. 2. Wartość nominalna kapitału po roku to Kn = 5000·(1+0,01/2)·(1+0,02/2) = 5075,25 zł. Natomiast wartość realna to Kr = 5075,25/1+0,015 = 5000,25 zł. Oznacza to, że realnie po roku wartość kapitału wzrosła tylko o 0,25 zł.
Zad. 3. Realna wartość kapitału to Kr = K·(1+ir) = K+K·ir = K+K·(in-ii)/(1+ii) = K+K·in/(1+ii)-K·ii/(1+ii) = K+Or-K·ii/(1+ii). Widać stąd, że realna wartość kapitału nie jest sumą kapitału włożonego i realnych odsetek, bo jest jeszcze dodatkowo pomniejszona o czynnik K·ii/(1+ii). Drugie pytanie sprowadza się do pierwszego pytania bo jeśli Or ≠ K·ir, to znaczy, że K+Or ≠ K+K·ir = Kr, czyli odpowiedź na drugie pytanie również jest przecząca.
