Zad. 1. Wyznacz wszystkie trójki (p, q, r) liczb pierwszych spełniające równanie pq + qp = r.
Zad. 2. Na półprostych OA, OB i OC nieleżących na jednej półpłaszczyźnie wybrano takie punkty A', B' i C', że czworościany OABC i OA'B'C' mają równe objętości oraz |A'O|:|AO| = 1/2 i |B'O|:|BO| = 1/3. Wyznacz |C'O|:|CO|.
Zad. 3. Pewien wielościan wypukły ma ścianę 100-kątną. Z każdego wierzchołka tego wielościanu wychodzą co najmniej 4 krawędzie. Wykaż, że ma on co najmniej 104 ściany trójkątne.
W tym miesiącu 20 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Co najmniej jedna z liczb p, q, r jest parzysta. Niech q=2. Otrzymujemy p2 + 2p = r, czyli (p2–1)+(2p+1) = r. Dla p>3 r nie byłoby liczbą pierwszą, bo lewa strona byłaby podzielna przez 3. Stąd p=3 i r=17, czyli trójki (p, q, r) to (2, 3, 17) oraz (3, 2, 17).
Zad. 2. Jeśli w czworościanie OKLM zrzutujemy prostopadle na płaszczyznę OLM przeciwległy wierzchołek K oraz dowolny punkt K' krawędzi OK, to [tex] \frac{V(OK'LM)}{V(OKLM)} = \frac{K'N'}{KN} = \frac{K'O}{KO},[/tex] gdzie punkty N i N' są odpowiednio rzutami punktów K i K', zaś V(XYZT) oznacza objętość czworościanu XYZT. Korzystając z tej obserwacji, otrzymujemy: [tex] 1 = \frac{V(OA'B'C')}{V(OABC)} = \frac{V(OA'BC)}{V(OABC)} \frac{V(OA'B'C')}{V(OA'B'C)} \frac{V(OA'B'C')}{V(OA'B'C)} = \frac{OA'}{OA}
\frac{OB'}{OB} \frac{OC'}{OC} = \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{OC'}{OC}.
[/tex] Stąd [tex] \frac{1}{6} = \frac{OC}{OC'} .[/tex]
Zad. 3. Niech w, s, k, oraz ai oznaczają odpowiednio liczby wierzchołków, ścian, krawędzi oraz boków i-tej ściany. Ze wzoru Eulera dla wielościanów w = k–s+2. Z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej 4 krawędzie, więc [tex] 2w= \frac{4w}{2} \leq k [/tex]. Stąd [tex] k \leq 2s-4 [/tex]. Niech t oznacza liczbę ścian trójkątnych. Wtedy [tex] 2s- \frac{t}{2} +48 = \frac{3t+100+4(s-t-1)}{2} \leq \frac{1}{2} \Sigma_{i=1} sa_i = k[/tex]. Stąd [tex] 2s- \frac{t}{2} +48 \leq k \leq 2s-4 [/tex] i ostatecznie [tex] 104 \leq t .[/tex]
