Zad. 1. Na lodowisku ślizga się grupa osób, których średnia wieku jest równa ich liczbie. Kiedy dołączył do nich 49-letni pan Janusz, okazało się, że średnia wieku jest nadal równa liczbie osób na tafli. Oblicz, ile osób ślizgało się na lodowisku na początku.
Zad. 2. Przekątna trapezu równoramiennego, którego podstawy mają długości 30 cm i 66 cm, jest dwusieczną kąta przy jego dłuższej podstawie. Oblicz pole tego trapezu.
Zad. 3. Cyfra dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest o 2 większa od cyfry jedności, a suma cyfr tej liczby wynosi 11. Wyznacz wszystkie liczby trzycyfrowe o tej własności.
W lutym punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Patryk Boruń SP 2 Wałbrzych, Adam Chowanek SP Mieroszów, Emilia Cichowska SP 14 Lubin, Zuzanna Dropia SP Świerże Górne, Michał Dźwigaj SP 1 Przemków, Filip Godek SP Kielce, Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Filip Klich SP Ekola Wrocław, Sandra Łuczak SP 107 Wrocław, Jakub Malicki SP Kobierzyce, Paweł Michałowski PrSP 1 Białystok, Lena Nowacka SP 28 Wałbrzych, Julia Osowiec SP 3 Tarnowskie Góry, Michał Plata SP 2 Syców, Kacper Przywara SP Józefów n. Wisłą, Cezary Rębiś SP Jedlnia-Letnisko, Lena Rojecka ChSP Arka Wrocław, Karol Skowera SP 2 Wałbrzych, Tymosz Srokosz SP 52 Warszawa, Filip Timofiejczuk SP 3 Tarnowskie Góry, Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław;
- 2,5 pkt. – Wiktoria Jaguszczak SP Grębocice, Tymoteusz Noremberg SP 29 Wrocław, Amelia Gugała SP Wrzosów, Aleksandra Wiercińska SP Raszówka;
- 2 pkt. – Marta Bąk SP Jedlnia Letnisko, Natalia Cubala SP Jedlnia-Letnisko, Jakub Gospodarczyk SP Jedlnia Letnisko, Amelia Gugała SP Wrzosów, Oliwia Jankowska SP Jedlnia Letnisko, Zuzanna Lipka SP Jedlnia – Letnisko, Antoni Maracewicz SP Aslan Głogów, Maja Muszyńska SP Jedlnia Letnisko, Karolina Prill SP Hańsko, Piotr Szymiec SP Pępowo, Tobiasz Twardy SP Biedrzykowice, Szymon Wróbel SSP Gliwice.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Niech n oznacza liczbę osób na lodowisku, a x sumę ich lat. Wówczas x/n = n, skąd x=n2. Ponadto z treści zadania wynika, że x+49/n+1 = n+1, czyli x+49 = (n+1)2. Po przekształceniu drugiego równania i podstawieniu za x otrzymujemy n2+49 = n2+2n+1, skąd n = 24.
Zad. 2. Zachodzi |∡ACD|=|∡BAC|, bo są to kąty naprzemianległe, oraz |∡BAC|=|∡CAD|, bo przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Zatem trójkąt ACD jest równoramienny i |AD|=30 cm. Trójkąt AED jest prostokątny, więc na podstawie twierdzenia Pitagorasa h = |DE| = 24 cm. Pole trapezu wynosi ½(30+66).24 = 1152 cm2.
Zad. 3. Oznaczmy przez y i x odpowiednio cyfrę setek i jedności szukanej liczby. Z treści zadania otrzymujemy y+x+2+x = 11, skąd y = 2x+9. Liczba y jest jednocyfrowa i różna od zera, gdy x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Możliwe liczby trzycyfrowe to: 920, 731, 542, 353 lub 164.
