Zad. 1. Pokaż, że dla dowolnej liczby całkowitej a, liczba (2a+1)2–1 jest podzielna przez 8.
Zad. 2. Gra polega na zabraniu jednej z dwóch kupek kamieni przez pierwszego gracza i podzieleniu drugiej na dwie mniejsze. Następnie drugi gracz postępuje w podobny sposób z kupkami pozostawionymi przez pierwszego gracza itd. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Jaką strategię powinien przyjąć gracz rozpoczynający grę, aby wygrać, gdy na początku w kupkach jest 20 i 21 kamieni?
Zad. 3. Trójkąt prostokątny o polu 1 jest wpisany w koło o polu 5π/4. Ile wynosi obwód tego trójkąta?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Kacper Gembara G w ZSS Wołów, Wiktor Koropczuk G 3
Gorzów Wielkopolski, Oliwia Kropidłowska G 1 Wrocław, Joanna Lisiowska KZE Warszawa, Julia Mazur G Lewin Brzeski, Антон Садовніченко GM im. 10 lat Niezależności Ukrainy Dniepropietrowsk, Laura Stefanowska G im. św. Franciszka z Asyżu Legnica, Franciszek Stepek G Społeczne Żary i Kajetan Walawski G Leżajsk; - 2,5 - Marek Komorowski G 3 Żory, Konrad Litwiński G 86 Warszawa i Przemysław Rybarczyk G Integracyjne Stargard;
- 2 - Maciej Celuch ZSG Stara Błotnica, Michał Fabijanowski NG Warszawa, Krzysztof Mach G 52 Kraków, Karolina Mielczarek G Lewin Brzeski i Katarzyna Siomka G Lewin Brzeski;
- 1 - Helena John G Wielowieś-Świniowice.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Po pięciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 15 pkt. (na 15 możliwych) prowadzą: Jakub Dobrzański, Wiktor Koropczuk, Oliwia Kropidłowska i Joanna Lisiowska. Drugie miejsce z wynikiem 14,5 pkt. zajmują: Konrad Litwiński i Przemysław Rybarczyk. Trzecie miejsce z wynikiem 14 pkt. zajmują: Kacper Gembara, Marek Komorowski i Laura Stefanowska. Gratulujemy!
Zad. 1. Liczba (2a+1)2–1=4a2+4a=4a(a+1), jest iloczynem czwórki i dwóch kolejnych liczb całkowitych. Ponieważ któraś spośród tych dwóch kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 2, to cała ta liczba jest podzielna przez 8.
Zad. 2. Gracz wygrywa, jeśli na końcu jego przeciwnik zastaje układ dwóch kupek po jednym kamieniu każda. Wtedy przeciwnik nie może wykonać ruchu. Strategia wygrywająca dla rozpoczynającego gracza to zabrać kupkę z 21 kamieniami a tą z 20 podzielić na dwie kupki z nieparzystymi liczbami kamieni. Wtedy jego przeciwnik będzie musiał podzielić którąś kupkę na dwie, jedną z parzystą i drugą z nieparzystą liczbą kamieni. I wtedy pierwszy gracz znów stosuje poprzednią taktykę, tzn. zabiera kupkę z nieparzystą liczbą kamieni, a tą z parzystą liczbą kamieni dzieli na dwie kupki z nieparzystymi liczbami kamieni. W ten sposób po kilku turach gracz pierwszy zostawi graczowi drugiemu dwie kupki, każda po 1 kamieniu.
Zad. 3. Z warunków zadania dostajemy, że promień tego okręgu wynosi √5/2, stąd przeciwprostokątna tego trójkąta wynosi √5. Oznaczmy przyprostokątne tego trójkąta przez a i b, wtedy (a+b)2=a2+b2+2ab. Zauważmy, że z twierdzenia Pitagorasa mamy a2+b2=5, a ze wzoru na pole trójkąta mamy 2ab=4, stąd (a+b)2=5+4=9, czyli a+b=3. Dlatego obwód tego trójkąta wynosi 3+√5.
