luty 2009

1. Suma wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego n-wyrazowego o wyrazach będących liczbami naturalnymi jest podzielna przez n. Czy to zdanie jest prawdziwe dla n=2009? Uzasadnij.

2. Czy dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a oraz dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność nan+1+1 ≥ (n+1)an? Uzasadnij.

3. W jakim zakresie ciąg zdefiniowany wzorem n! / 1000n jest rosnący?

 

Wyniki: 

Zadania lutowe okazały się szczęśliwe dla Rafała Chojny z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie, Agaty Maciochy z III LO w Opolu oraz Macieja Niemczyka i Justyny Wozowczyk z I LO w Lubinie - za nadesłane rozwiązania otrzymują oni po 3 pkt.

W czołówce Ligi są:

  • 15 pkt. (na 15 możliwych!) - Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie,
  • 14 pkt. - Agata Maciocha z III LO w Opolu,
  • 12 pkt. - Rafał Chojna z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie.

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Chyba najprościej jest oznaczyć tysiąc piaty wyraz tego ciągu przez a - wówczas suma całego ciągu to (a–1004r)+(a–1003r)+(a–1002r)+...+(ar)+a+(a+r)+...+(a+1004)=2009a, co oczywiście daje prawdziwość zdania, o którym mowa w zadaniu.

Zad. 2. Wiadomo, że średnia arytmetyczna dowolnych liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej. Dla n liczb równych an+1 i jedynki daje to (nan+1+1)/(n+1) n+1√((an+1)n), czyli po przekształceniach nierówność z zadania.

Zad. 3. Wyraz o numerze n powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez n/1000, jest zatem większy, wtedy i tylko wtedy gdy n>1000, czyli ciąg jest rosnący dla n>999.

 

Powrót na górę strony