W tym miesiącu proponujemy zadania primaaprilisowe. Gdzie tkwi błąd? A może go nie ma?
Zad. 1. Równość prawdziwą przekształcamy równoważnie (argumentacja w nawiasach), więc otrzymujemy równoważną jej równość prawdziwą.
-6 = -6 (prawda)
4−10 = 9−15 (przedstawienie liczb w równoważnej postaci)
4−10+25/4 = 9−15+25/4 (dodawanie stronami tej samej liczby)
(2−5/2)2 = (3−5/2)2 (tożsamość algebraiczna - wzór skróconego mnożenia)
2−5/2 = 3−5/2 (obustronne usunięcie znaku funkcji kwadratowej)
2 = 3
Zad. 2. Wszystkie trójkąty są równoramienne.
W trójkącie ABC prowadzimy dwusieczną kąta C, a ze środka D boku AB wystawiamy prostopadle symetralną. Dwusieczna kąta C i symetralna boku AB przecinają się w punkcie S, który jest równoodległy od ramion kąta C, bo leży na dwusiecznej (tzn. |SE| = |SF|) i równoodległy od wierzchołków A i B, bo leży na symetralnej (tzn. |SA| = |SB|). Stąd wynika, że trójkąty CES i CFS są przystające (z cechy bkk) oraz że trójkąty ASE i BSF są przystające (z cechy bbb). Zachodzi równość długości odpowiednich boków przystających trójkątów, czyli |CE|=|CF| i |AE|=|BF|, a po dodaniu tych ostatnich równości stronami otrzymujemy: |AE|+|EC| = |BF|+|FC|, czyli |AC|=|BC|, co dowodzi, że trójkąt ABC jest równoramienny.
Zad. 3. Suma odwrotności potęg dwójki wynosi 2, a suma potęg dwójki wynosi -1.
| 1+1/2+1/4+1/8+... = x 2+1+1/2+1/4+... = 2x 2+x = 2x x = 2 |
definiujemy wielkość x mnożymy stronami przez 2 przepisujemy równanie równoważnie rozwiązujemy równanie |
1+2+4+8+... = x 2+4+8+16+... = 2x x–1 = 2x x = -1 |
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Adam Chowanek III LO Wałbrzych, Mikołaj Popek VIII LO Poznań, Wojciech Szwarczyński II LO Wałbrzych, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Igor Wojtun I LO Głogów;
- 2,5 pkt. – Jakub Kutyła ZS Głogów,
- 2 pkt. – Bartosz Kaczor I LO Głogów, Anna Cichowska II LO Lubin, Filip Derejski I LO Kraków, Wojciech Domin III LO Wrocław, Rafał Górzyński I LO Lubin, Szymon Kowalcze ZSE Brzeg, Michał Plata III LO Wrocław, Tomasz Smołka I LO Kraków, Laura Stefanowska KLO Legnica, Igor Wojtasik I LO Jelenia Góra;
- 1 pkt. – Cezary Rębiś ZSE Radom;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ostatnie przejście nie jest równoważne, obustronnie nakładać można znak dowolnej funkcji, ale usuwać tylko znak funkcji różnowartościowej.
Zad. 2. Dwusieczna z symetralną przecinają się, ale na zewnątrz trójkąta. Tylko ze wtedy rozumowanie jest inne, ale nadal zachodzi. Problem polega na tym, ze punkty E i F znajdują się jeden wewnątrz, a drugi na zewnątrz boku, czyli po jednej stronie dodajemy długości, a po drugiej odejmujemy i równości stron nie ma.
Zad. 3. Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania, a to jest prawdziwe tylko dla sum skończonych. Należy najpierw wyliczyć wartość sumy, a dopiero potem mnożyć ją przez 2.
