kwiecień 2009

Data ostatniej modyfikacji:
2009-07-4

Zad. 1. Jaki jest promień dwóch przystających kul, które zmieszczą się w sześcianie o krawędzi 1?

Zad. 2. Ile rozwiązań ma równanie [tex]\sqrt{x+1}+x+p=0[/tex] w zależności od wartości p?

Zad. 3. Dane są A (1, 0), B (1, 1), C (1, 2), D (0, 2). Opisz, jak wygląda zbiór punktów równo odległych od odcinków AB i CD.

 

Wyniki: 

W kwietniu bezbłędne rozwiązania (za które przyznajemy 3 pkt.) nadesłali jedynie Justyna Wozowczyk i Dariusz Kajtoch. Na 2,5 pkt. oceniamy rozwiązania Rafały Chojny i Macieja Niemczyka.

Aktualna czołówka Ligi to:

  • 20,5 pkt. (na 21 możliwych!) Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie,
  • 20 pkt. Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie,
  • 17,5 pkt. Rafał Chojna z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie.

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Ze względu na symetrię opisanej konstrukcji środki największych takich kul będą leżeć na przekątnej sześcianu. Odległość każdego środka od najbliższego wierzchołka sześcianu jest długością przekątnej sześcianu o krawędzi równej promieniowi kul. Mamy zatem: √3=2(r+r√3), skąd r=√3/(2(1+√3))=(3-√3)/4.

Zad. 2. Po przekształceniu równania do postaci √(x+1)=-x-p. Wykresem lewej strony jest górna połowa paraboli o wierzchołku (-1,0), symetrycznej względem osi OX, a prawej - prosta nachylona do dodatniej półosi OX pod kątem 135° przecinająca oś OX w punkcie (-p,0), zatem dane równanie ma jedno rozwiązanie dla p≤1, a nie ma rozwiązań dla pozostałych wartości p.

Zad. 3. Część opisanej figury położona na prawo od prostej ABC zawiera się w symetralnej odcinka BC. Dalej w lewo należy szukać punktów o równej odległości od B i prostej CD, czyli leżących na paraboli o równaniu 2-y=√((x-1)2+(y-1)2), tj. y=-x2/2+x+1, i tak jest dla x≥0 (wtedy y[tex]\in[/tex][1,3/2]). Dla x<0 szukane punkty leżą na symetralnej odcinka AD dla y≤0 (czyli x≤-3/2), a dla y[tex]\in[/tex][0,1] na paraboli będącej zbiorem punktów równo odległych od D i prostej AB, która ma równanie 1-x=√(x2+(2-y)2), czyli x=-y2/2+2y-3/2.

 

Powrót na górę strony