grudzień 2015

Data ostatniej modyfikacji:
2016-02-1

Zad. 1. Uzupełnij nazwiska w nazwach pojęć matematycznych:
okrąg ...     okręgi ...     sfera ...     sfery...           trójkąt ...   
prosta ...    krzywa ...   liczba ...     liczby ...         stała ...
wzór ...      wzory ...     reguła ...   wielomian ...   równanie ...
funkcja ...    całka ...      miara ...     metryka ...     paradoks ...        

Zad. 2. Do czego służy ekierka Binga? Jakie ma kąty?

Zad. 3. Podaj cztery koncepcje budowy układu słonecznego, jakie pojawiły się w historii. Jakie były najważniejsze róznice między nimi? Kto je stworzył? Kiedy? 

 

Wyniki: 

Nikomu z uczestników Ligi nie przyznano w tym miesiącu 3 pkt. Następujące osoby uzyskały natomiast takie liczby punktów:

  • 2,75 - Wojciech Tomiczek (inżynier z Lipowej)
  • 2,5 - Krystyna Lisiowska (redaktor z Warszawy), Bolesław Mokrski (nauczyciel z Gliwic)
  • 2 - Daria Bumażnik (II LO Jelenia Góra), Krzysztof Danielak (student informatyki przemysłowej na PWr), Małgorzata Gołdyn (I LO Jelenia Góra), Zygmunt Krawczyk (nauczyciel ze Szprotawy), Adrian Szumski (konstruktor z Płocka), Dominik Zygmunt (student bankowości i finansów cyfrowych na UŁ)
  • 1,5 - Kamil Krakowiecki (student filologii angielskiej na UŚ), Kamil Faryński i Marcin Faryński z SP 11 Inowrocław, Janusz Wieczorek (nauczyciel z Sandomierza)
  • 1,25 - Szymon Meyer (II LO Opole).

Pozostali zawodnicy otrzymali 1 pkt lub mniej.

Po trzech miesiącach trwania ligi prowadzą:

  • Krystyna Lisiowska (8 pkt)
  • Daria Bumażnik, Bolesław Mokrski, Adrian Szumski, Dominik Zygmunt (7,5 pkt)
  • Wojciech Tomiczek (7,25)
  • Zygmunt Krawczyk (7 pkt)
  • Szymon Meyer (6,75 pkt)
  • Krzysztof Danielak (6,5 pkt)
  • Kamil Faryński, Marcin Faryński, Kamil Krakowiecki, Janusz Wieczorek (6 pkt)

Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Oto przykładowe 'pojęcia z nazwiskiem':

  • okrąg: Apoloniusza, Eulera
  • okręgi: Forda, Carlyle’a, Boromeuszy
  • sfera: Aleksandera, Blocha, Hobermana, Riemanna
  • sfery: Dandelina
  • trójkąt: Pascala, Sierpińskiego, Releaux
  • prosta: Eulera, Simsona
  • krzywa: Gaussa, Peana, Hilberta, Jordana
  • liczba: Nepera, Archimedesa
  • liczby: Archimedesa, Catalana, Fermata, Fibonacciego, Mersenne'a 
  • stała: Eulera, Chinczyna, Sierpińskiego
  • wzór: Eulera, Herona, Picka
  • wzory: Viete'a, Cramera, Cardana
  • reguła: de L'Hospitala, Guldina, Cavaleriego, Sarrusa
  • wielomian: Lagrange'a
  • równanie: Cauchy'ego, Pella
  • funkcja: Eulera, Dirichleta, Riemanna
  • całka: Riemanna, Archimedesa
  • miara: Jordana, Lebesque'a, Haara
  • metryka: Minkowskiego, Czebyszewa, Hausdorffa
  • paradoks: Russela, Bertranda, Zenona z Elei

Nie uznawaliśmy niektórych odpowiedzi, np.: metryka Euklidesa, trójkąt Pitagorasa, równanie Diofantosa (nie istnieją, zapewne chodziło o: metrykę euklidesową, trójkę pitagorejską, równanie diofantyczne), paradoks Achillesa (to jest jeden z paradoksów Zenona z Elei, jego poprawna nazwa to paradoks Achillesa i żółwia i to nie jest 'pojęcie z nazwiskiem'), sfera Dysona lub Bernala, stała Plancka lub Avogadra (nie są pojęciami matematycznymi). Nie odejmowaliśmy punktów za błędy w pisowni nazwisk, o ile były incydentalne.

 

Zad. 2. Ekierka Binga to przyrząd służący do przybliżonego rozwiązania problemu kwadratury koła, czyli konstrukcji kwadratu o polu równym polu danego koła. Metodę tę opisał w 1836 roku rosyjski inżynier Bing.

Niech x oznacza szukaną długość boku kwadratu o polu takim, jak pole koła o danym promieniu r. Kąt ACB jest wpisany i oparty na średnicy, więc jest prosty. Pole kwadratu o boku AC wynosi x2 = (2r·cosα)2, co ma być równe πr2. Obliczamy stąd cosα = 1/2·√π. Widać, że kąt α nie zależy od r, jest więc ten sam dla każdego koła i wynosi ok. 27°35'49,6".

Wystarczy zatem sporządzić ekierkę (trójkąt prostokątny) o kątach ostrych 27°36' i 62°24", położyć wierzchołek jej najmniejszego kąta na obwodzie koła, a przeciwprostokątną ułożyć wzdłuż średnicy. Wówczas cięciwa wyznaczona przez przyprostokątną przyległą do tego kąta, jest bokiem szukanego kwadratu. Ponieważ tg27°36'0,523 = 131/250, w praktyce można wykonać ekierkę Binga, biorąc za długości jej przyprostokątnych 131 i 250.

Zadanie okazało się trudne. Poprawnej odpowiedzi udzielili jedynie: Krystyna Lisiowska, Bolesław Mokrski i Wojciech Tomiczek. Gratulujemy wiedzy i dociekliwości.

 

Zad. 3. Najstarsze naukowe koncepcje budowy układu słonecznego (nie pytaliśmy o koncepcje budowy całego wszechświata) pochodzą od astronomów babilońskich (-XIX wiek), według których Ziemia była nieruchomą półkulą przykrytą sferycznym kloszem sklepienia niebieskiego, po którym poruszały się Słońce, Księżyc i gwiazdy.  Niektórzy zawodnicy podawali więcej niż 4 koncepcje. Wymagaliśmy, aby wśród nich wymienione były następujące:

  • Klaudiusz Ptolemeusz (II wiek), teoria geocentryczna: nieruchoma Ziemia w centrum wszechświata, jednostajny ruch Słońca i Księżyca po okręgu, jednostajne ruchy planet po trajektoriach będących wynikiem złożenia ruchów po okręgach.
  • Mikołaj Kopernik (XV/XVI wiek), teoria heliocentryczna: Słońce nieruchome w centrum wszechświata, jednostajne ruchy planet po trajektoriach będących wynikiem złożenia ruchów po okręgach (ale ich liczba była znacznie mniejsza niż w systemie ptolemejskim).
  • Tycho Brahe (XVI wiek), teoria bicentryczna: wirująca Ziemia w centrum, wokół którego krążą jednostajnie po okręgach Słońce i Księżyc, planety zaś krążą po okręgach wokół Słońca.
  • Johannes Kepler (XVI/XVII wiek), teoria helioacentryczna: ruch planet po elipsach, w których ognisku jest Słońce, ze zmiennymi prędkościami (stałe są prędkości polowe). Podwaliny teoretyczne tego modelu dał Izaak Newton (XVII wiek), formułując zasady dynamiki i prawo grawitacji, a jego potwierdzenie eksperymentalne przyniosły obserwacje aberracji światła przeprowadzone przez Jamesa Bradleya (XVIII wiek).

Uwaga! Jeśli coś porusza się wokół Ziemi, to zdecydowanie przez jedno 'i' - ten ortograficzny lapsus przydarzył się kilku osobom.

 

Okręgi i okrągi

Okręgi: Forda, Carlyle’a, Boromeuszy... Rozumiem, że autor pytań miał na myśli okrągi.

Ekierka Edwarda Binga

Do jej konstrukcji nie musimy wyznaczać kąta, jeśli celem jest zbudowanie ekierki. Mamy cos2α = π/4, sin2α = 4–π/4 stąd tg2α = 4–π/π . To daje tgα = 0,52272321... Budujemy teraz trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi w stosunku 23:44. Taka proporcja to 0,5227(27) i lepiej przybliża tgα od oryginalnej wartości Binga 131:250.

Odpowiedź

1) Autor zadań miał na myśli okręgi.
2) Edward Bing był wydawcą i żył jakieś 100 lat po inżynierze Bingu, który przypuszczalnie nosił imiona Carl Friedrich Edward Max, chociaż trudno to jednoznacznie potwierdzić, którego z tych imion używał.
3) Oczywiście do konstrukcji ekierki wystarczy znajomość dowolnej funkcji trygonometrycznej jej kąta. Jednak tradycyjnie ekierki definiuje się przez ich kąty ostre, nie ich tangensy. Poza tym warto zwrócić uwagę, że ekierka Binga jest kształtem zbliżona do trójkąta ekierkowego (30-60-90), którego można używać do wyznaczenia przybliżonej kwadratury.

Data i proporcje w ekierce Binga

Edward Bing był rosyjskim inżynierem i pracował jako dyrektor działu technicznego w fabryce kolejowej Russian-Baltic Waggon Works w Rydze. Artykuł z opisem ekierki opublikował w 1877 roku. Może były jakieś wcześniejsze jego publikacje na ten temat, trudno jest to stwierdzić, jednak wydaje się, że data 1836 podana na Portalu jest zbyt wczesna. Różnica wynosi 40 lat, a to trochę dużo.
Teraz o samym przybliżeniu i niefortunnym ułamku 131/250. Przedstawiamy kąt 27° 35' 49.6" = 27° + 35'/60 + 49.6"/3600 w postaci 27.59711°. Jego tangens wynosi 0.52272314… Odpowiadający tej wartości ułamek łańcuchowy ma postać [0; 1, 1, 10, 1, 1, 124, 2, 6, ...]. Kolejne redukty tego ułamka to 1/1, 1/2, 11/21, 12/23, 23/44 itd. Warto dodać, że ułamek 131/250 nie pojawia się wśród reduktów. Poza tym 23/44 lepiej przybliża wartość szukanego tangensa niż 131/250. Sam Bing też proponował ekierkę z bokami w relacji 23:44.

Powrót na górę strony