Zad. 1. Niech x1, x2, ..., xn będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że [tex]\frac{x_1}{\sqrt{x_1x_2 + x_2^2}} + \frac{x_2}{\sqrt{x_2x_3 + x_3^2}} + ... + \frac{x_n}{\sqrt{x_nx_1 + x_1^2}} \ge \frac{n}{\sqrt{2}} [/tex].
Zad. 2. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n>401 pomiędzy liczbami n i n+7√n można wybrać kilka liczb (więcej niż jedną), których iloczyn jest sześcianem.
Zad. 3. Udowodnij, że spośród wszystkich n-kątów wpisanych w dany okrąg, największe pole ma n-kąt foremny.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 20 - Radosław Górzyński (I LO Lubin),
- 20 - Miłosz Zajdel (I LO Krosno).
Zad. 1. Niech [tex]f(x)= \frac{e^t}{\sqrt{e^t + 1}}, t\in\mathbb{R}.[/tex] Bezpośredni rachunek pokazuje, że f''(t) > 0, więc f jest wypukła. Stosując nierówność Jensena, otrzymujemy
[tex]\frac{x_1}{\sqrt{x_1x_2 + x_2^2}} + \frac{x_2}{\sqrt{x_2x_3 + x_3^2}} + ... + \frac{x_n}{\sqrt{x_nx_1 + x_1^2}} \ge [/tex]
[tex] f(\ln(\frac{x_1}{x_2})) + f(\ln(\frac{x_2}{x_3})) + ... + f(\ln(\frac{x_n}{x_1})) \ge n f(\frac{\ln\frac{x_1}{x_2} + \ln\frac{x_2}{x_3} + ... + \ln\frac{x_n}{x_1}}{n}) = n f(0) = \frac{n}{\sqrt{2}}.[/tex]
Zad. 2. Niech k = [√n]+1 oraz niech x będzie największą liczbą naturalną spełniającą x2 + x < k. Wtedy (k–x)(k+x+1) < (k–x+1)(k+x) < (k–x)(k+x+2) < (k–x+1)(k+x+1) < (k–x+2)(k+x) <
(k–x)(k+x+3) < (k–x+3)(k+x) < (k–x+1)(k+x+3) < (k–x+2)(k+x+2) < (k–x+3)(k+x+1) <
(k–x+2)(k+x+3) < (k–x+3)(k+x+2), a iloczyn wszystkich tych liczb jest równy
((k–x)(k–x+1)(k–x+2)(k–x+3)(k+x)(k+x+1)(k+x+2)(k+x+3))3.
Pozostaje sprawdzić, że n < (k–x)(k+x+1) < (k–x+3)(k+x+2) < n+7√n, co jest prawdą, bo
(k–x)(k+x+1) = k2+k–x2+x > k > n oraz (k–x+3)(k+x+2) = k2+5k–x2–x < k2+5k–6 =
(k–1)2+7(k–1) < n+7√n. W celu uzasadnienia ostatniego ciągu przekształceń zauważmy, że
k–1 < n < k, a z założenia, że n>401, wynikają kolejno oszacowania k≥21 i x≥4. Stąd otrzymujemy x2–x > 12.
Zad. 3. Niech X, Y, Z będą trzema kolejnymi wierzchołkami ustalonego n-kąta.
Jeżeli zamienimy miejscami krawędzie XY i YZ, to otrzymamy n-kąt o tym samym polu wpisany w ten sam okrąg (dlaczego?). Stosując to przekształcenie wielokrotnie, doprowadzimy do sytuacji, w której najdłuższy i najkrótszy bok mają wspólny wierzchołek. Niech teraz A, B, C będą takimi wierzchołkami, że AB jest najkrótszym, a BC najdłuższym bokiem n-kąta. Zauważmy, że zastępując wierzchołek B punktem B1 będacym środkiem łuku AC, otrzymamy wielokąt o większym polu (dlaczego?). Zastosowanie tej operacji zwiększy pole każdego n-kąta, który nie jest foremny, a stosowanie jej wielokrotnie doprowadzi dowolnie blisko wielokąta foremnego. Dokładniej mówiąc, zauważmy że pole n-kąta A1, ..., An wpisanego w okrąg o środku O jest ciągłą funkcją zależącą jedynie od kątów A1OA2, A2OA3, ..., AnOA1, a powyższa operacja zamienia największy i najmniejszy z tych kątów na ich średnią arytmetyczną. Przy wielokrotnym stosowaniu tej operacji każda z miar kątów AiOAi+1 będzie się zbliżać do 360°/n.
