Zad. 1. W Smoczej Jamie żyły smoki czerwone i zielone. Każdy czerwony smok miał 6 głów, 8 nóg i 2 ogony, a każdy zielony smok miał 8 głów, 6 nóg i 4 ogony. Wszystkich ogonów było 44, a zielonych nóg było o 6 mniej niż czerwonych głów. Ile czerwonych, a ile zielonych smoków żyło w tej jamie?
Zad. 2. Rok 2010 należy do ciągu 25 kolejnych lat (od 1988 do 2012), z których każdy ma w swoim zapisie dwa razy taką samą cyfrę. Jakie lata utworzą najbliższy taki ciąg 20-letni?
Zad. 3. Czy istnieje pięć różnych liczb naturalnych, takich że NWD ich wszystkich wynosi 1, ale NWD żadnych dwóch z nich nie jest jedynką? Uzasadnij!
Za ostatnią rundę zadań w tym roku szkolnym maksymalną ocenę (3 pkt) uzyskali:
Antonina Biela, Jędrzej Borowczak, Szymon Budzyński, Ewa Gapińska, Jacek Gnatowski, Karolina Krzykawiak, Joanna Lisiowska, Kuba Marek, Aleksandra Polcyn, Michał Prończuk, Agata Siemieniec, Beata Siorek, Michał Turniak oraz Agata i Beata Zdunek.
W bieżącym roku szkolnym w Lidze SP wzięło 176 uczniów. W czołówce znaleźli się (w nawiasie podajemy liczby zdobytych punktów na 27 możliwych):
I m. ex aequo - Jacek Gnatowski SP Dziadowa Kłoda, Michał Prończuk SP 217 Warszawa, Beata Siorek SP 5 Wieluń i Michał Turniak SP 107 Wrocław (27 pkt),
II m. - Szymon Budzyński SP 2 Wrocław (26,5 pkt),
III m. - Joanna Lisiowska KSP im. P. Skargi Warszawa (26 pkt).
Gratulujemy! Nagrody wysyłamy pocztą.
Zad. 1. Zielony smok ma 6 nóg - tyle samo, ile głów ma smok czerwony. Skoro czerwonych głów było o 6 więcej niż zielonych nóg, czerwonych smoków było o jeden więcej niż zielonych. Każda para smoków czerwony + zielony ma w sumie 6 ogonów, więc pewna liczba takich par + 2 ogony ostatniego smoka czerwonego to razem 44. Par było zatem 42:6 = 7, czyli tyle było też smoków zielonych, a czerwonych 8.
Zad. 2. Lata 2013, 2031, 2051, 2071, 2091 i 2109 nie mają w swych numerach powtarzających się cyfr, a odległości między nimi wynoszą nie więcej niż 20 lat, więc ciąg, o którym mowa w zadaniu, może zacząć się najwcześniej w roku 2110. W numerach lat 2110-2129 dwukrotnie występuje cyfra "1" lub "2", a jest ich 20, więc to jest szukany ciąg.
Zad. 3. Takimi liczbami są np. 2·11, 3·11, 5·11, 7·11 i 2·3·5·7. NWD dowolnych dwóch spośród pierwszych czterech to 11, NWD którejkolwiek z nich i ostatniej to 2, 3, 5 lub 7, a NWD wszystkich to jeden, bo żaden czynnik pierwszy nie występuje w nich wszystkich. Piątki liczb spełniających warunki zadania można tworzyć również inaczej, ale nawet sposób tu opisany udowadnia, że jest ich nieskończenie wiele, bo zamiast liczb 2, 3, 5, 7 i 11 można wziąć pięć dowolnych innych liczb pierwszych (a jest ich nieskończenie wiele).
