Definicja:
Liczbę postaci $2^n-1$, gdzie n jest całkowitą liczbą dodatnią, nazywamy n-tą liczbą Mersenne'a i oznaczamy zwyczajowo przez $M_n$.
Liczby pierwsze Mersenne'a:
W liście do de Bessy'ego ojciec Marin Mersenne (wiek XVI/XVII) stwierdził, że $M_n$ jest liczbą pierwszą dla $n\in\{2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,157\}$ i nie jest nią dla pozostałych liczb naturalnych mniejszych od 257. Dziś wiemy, że Mersenne pominął liczby $M_n$ dla $n\in\{61,89,107\}$, które istotnie są pierwsze, natomiast błędnie zaklasyfikował jako takie liczby odpowiadające $n\in\{67,257\}$.
Aby liczba $M_n$ była pierwsza, n musi być liczbą pierwszą. Z tego powodu niektórzy definiują liczby Mersenne'a jako liczby postaci $2^p-1$, gdzie p jest liczbą pierwszą.
Największa znana obecnie liczba pierwsza Mersenne'a to $M_{43112609}$ (sierpień 2008).
Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne'a.
Własności:
- liczby Mersenne'a mają rozwinięcie dwójkowe złożone z samych jedynek (dlatego stosunkowo łatwo jest komputerom sprawdzać ich pierwszość, przez co bardzo często największą znaną liczbą pierwszą jest liczba Mersenne'a);
- jeżeli liczba $n-3$ jest podzielna przez 4 i n jest liczbą pierwszą, to $2n+1$ dzieli $M_n$ dokładnie wtedy, gdy $2n+1$ jest liczbą pierwszą;
- dzielnik pierwszy liczby $M_p$, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest postaci $2kp+1$, gdzie k jest liczą dodatnią całkowitą;
- liczba $D(n)$ cyfr $M_n$ liczby wyraża się wzorem: $D(n)=E(\ln(2n-1)+1)$,
gdzie: $E(x)$ oznacza część całkowitą liczby x, $\ln x$ to logarytm naturalny (w podstawie ma e) z liczby x.
Liczby doskonałe:
Liczbę naturalną nazwiemy doskonałą, gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Euklides odkrył, że jeżeli $M_p$ (gdzie p jest liczbą pierwszą) jest liczbą pierwszą, to liczba postaci $\frac{1}{2}M_p(M_p+1)$ jest liczbą doskonałą. Euler udowodnił, że wszystkie parzyste liczby doskonałe są tej postaci. Przypuszcza si, że nie ma liczb doskonałych nieparzystych.
Bibliografia:
- Księga liczb. J.H. Conway, R.K.Guy. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne. Warszawa 1999.
- http://mathworld.wolfram.com
- Matematyka i jej historia. W. Więsław. Wydawnictwo Nowik. Opole 1997.
- Encyklopedia szkolna. Matematyka. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 1989.
