Definicja:
Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego.
Własności:
- Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy).
- Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta.
- W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.
rysunek
- Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie (w środku okręgu wpisanego w trójkąt).
Dowód. Dwusieczne dwóch kątów trójkąta nie są równoległe, więc przecinają się. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez P. P leży na dwusiecznej kąta C, więc w równych odległościach od boków a i b. P leży też na dwusiecznej kąta B, zatem w równych odległościach od boków a i c. Skoro P leży w tej samej odległości od boków b i c, to leży na dwusiecznej kąta A, jest więc punktem wspólnym trzech dwusiecznych.
- Dwusieczne kątów czworokąta wypukłego przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
Dowód twierdzenia prostego widać na rysunku. Dowód twierdzenia odwrotnego robi się nie wprost, wykorzystując twierdzenie proste.
- Dwusieczne kątów pewnego wielokąta przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy można ten wielokąt opisać na okręgu (można w ten wielokąt wpisać okrąg).
- Twierdzenie o dwusiecznej - dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
Dowód. Stosunek pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw, na które tę wysokość opuszczono. Zatem =
. Ze wzoru na pole trójkąta lewą stronę można zapisać jako
=
. Stąd
=
.
- Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej - jeśli punkt D dzieli bok AB trójkąta ABC w stosunku c1:c2, a półprosta CD dzieli kąt C w stosunku x:y, to zachodzi:
=
.
- Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego - w trójkącie o wierzchołkach A, B, C dwusieczna kąta zewnętrznego tworzy na przedłużeniu przeciwległego boku odcinki proporcjonalne do pozostałych boków, tzn. zachodzi:
=
.
Dowód. Z wierzchołka B prowadzimy prostą równoległą do boku AC, otrzymując w przecięciu z dwusieczną punkt D. Trójkąty ACZ i BDZ są podobne (cecha KKK), stąd mamy: =
. Trójkąt BCD jest równoramienny (kąty typu Z o mierze α oraz α+x+x = 180º), więc otrzymujemy brakującą do tezy równość BD=BC.
- symetralna
- sieczna
- trójsieczna
- wielokąt cykliczny
- czworokąt cykliczny
Supersopel ma o poranku pierwszego dnia 2012 mm długości i co dobę w ciągu dnia kurczy się o 123 mm, a każdej nocy wydłuża 1,23 razy. Kiedy jego długość przekroczy rok świetlny? Do znalezienia odpowiedzi na to pytanie przyda się kalkulator. Więcej takich zadań znajdziesz w Lidze kalkulatorowo-komputerowej.
Podatek Belki obowiązuje w Polsce od 2001 roku. Płaci się go od dochodów kapitałowych, czyli na przykład od odsetek z oszczędności ulokowanych na koncie bankowym albo od zysków z giełdy. Do końca marca można legalnie unikać płacenia tego podatku. Dowiedz się jak i dlaczego..
W dniach 17-18 II odbędzie się etap regionalny LXIII Olimpiady Matematycznej. To najstarsza z olimpiad przedmiotowych. Odbywa się w Polsce od 1949 roku. Dziesięć lat później rozpoczęto organizację zawodów międzynarodowych, na których zdobyliśmy dotychczas 25 złotych medali.
Zebrane w trzech tomach „Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata” mogą pomóc w przygotowaniach do polskiej olimpiady, a także do wielu innych konkursów matematycznych. Ale przede wszystkim są ciekawe i wiele można się z nich nauczyć.
Wiele zadań i problemów na poziomie olimpijskim można znaleźć w Internecie. Użyteczne w ich poszukiwaniu może okazać się portalowe linkowisko. Ostatnio zostało znacznie poszerzone, zaktualizowane i uporządkowane. Zapraszamy też do zgłaszania kolejnych użytecznych stron www.
