Międzynarodowy Dzień Liczby Pi

Data ostatniej modyfikacji:
2011-03-13
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
teoria liczb

Datę 14 marca w notacji amerykańskiej zapisuje się jako 3.14, co kojarzy się z przybliżeniem liczby pi. Wiele amerykańskich szkół obchodzi wtedy święto matematyki tzw. Pi Day [czyt. pajdej]. Warto przypomnieć, że dzień ten jest jednocześnie rocznicą urodzin Wacława Sierpińskiego i Alberta Einsteina.

Zwyczaj ten przywędrował także do Polski. Zamiast kolejnego zapożyczenia zza oceanu (jak np. Walentynki, które zdominowały słowiańskie święto zakochanych obchodzone w Noc Świętojańską), proponujemy obstawanie przy rodzimej tradycji i obchodzenie święta liczby pi 22 lipca. Dlaczego właśnie wtedy?

Jak obliczono pi

Liczba π (długość jednostkowego półokręgu lub pole jednostkowego koła) interesowała matematyków od dawna. Już w III wieku p.n.e. Archimedes oszacował jej wartość z dokładnością do 0.002, przybliżając obwód koła z góry i z dołu obwodami wpisanego weń i opisanego na nim 96-kąta foremnego. Jest on również wynalazcą słynnego wymiernego przybliżenia liczby π jako 22/7, co daje lepszą dokładność niż poprzednie przybliżenie i jest nie tylko najlepszym wśród ułamków o mianowniku nie większym od 7, ale wśród wszystkich dat rocznych w polskiej notacji (i rzecz jasna lepszym niż 3,14). To za sprawą tego właśnie przybliżenia liczba π nazywana była liczbą Archimedesa.

Później przyjęła się na π również nazwa ludolfina, na pamiątkę niemieckiego matematyka i szermierza Ludolfa van Ceulena [wym. fan kölena], który w 1610 roku obliczył ją z dokładnością do 35 miejsc po przecinku, stosując metodę Archimedesa i przybliżając obwód koła obwodem wielokątów foremnych (wpisanego i opisanego) o 262 bokach.

Oznaczanie liczby π tą właśnie literą greckiego alfabetu (pierwszą literą słowa perímetros, co znaczy obwód) zostało wprowadzone na początku XVIII wieku przez angielskiego matematyka Williama Jonesa, a spopularyzowane w pracy Leonarda Eulera z 1736 roku. 

W XVII wieku zarzucono geometryczne sposoby obliczania kolejnych cyfr rozwinięcia liczby π i zwrócono się w stronę teorii szeregów. Najbardziej znanym przykładem szeregu związanego z π jest tzw. naprzemienny szereg Liebniza, otrzymany jako wartość w jedynce szeregu Maclaurina funkcji arctg x:

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-...

Mimo że wzór ten jest bardzo prosty, nie ma jednak praktycznego znaczenia ze względu na niesłychaną powolność zbliżania się sum częściowych do granicy. Dokładność rzędu czterech miejsc po przecinku dostaniemy dopiero po uwzględnieniu... pięciu tysięcy wyrazów! Istnieją jednak inne, szybciej zbieżne wzory na π. To dzięki nim możliwe było wyznaczenie dalekich cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby.

Do niewątpliwych pechowców wśród badaczy liczby π zaliczyć należy Anglika - Wiliama Shanksa. W 1853 roku ogłosił on wyniki swoich obliczeń aż do... 530 miejsca po przecinku (pamiętajmy, że robił je ołówkiem na papierze!). Pracując przez następnych 20 lat zdołał obliczyć kolejnych 177 cyfr. Niestety, okazało się, że poprzedni wynik zawierał błąd na 528 miejscu i wszystko można było wyrzucić do kosza. Na szczęście Shanks wykrycia tego błędu nie doczekał. Jego następcy zaprzęgli już do pracy maszyny liczące. Z 1948 roku pochodzą pierwsze wyniki otrzymane przy pomocy arytmometru (to taka 'maszynka z korbką'). A. Smith i J. Wrench obliczyli w ten sposób 808 cyfr rozwinięcia π (myląc się jednak od 723 miejsca). Potem przyszła kolej na maszyny elektroniczne i rachunki "ruszyły z kopyta". Prekursorem był tu G. Reitwiesner, który w 1949 roku na maszynie ENIAC obliczył 2037 cyfr rozwinięcia π.

Powstało pytanie, skąd matematycy mają wiedzieć, czy otrzymany w ten sposób wynik jest poprawny? Otóż za sprawdzenie przyjmuje się otrzymanie tego samego wyniku inną metodą i na innej maszynie. I tak pierwszy milion cyfr rozwinięcia π został przekroczony w 1974 roku, a sprawdzony dopiero po 11 latach.

Po co oblicza się pi

Do dziś obliczono π z dokładnością do ponad biliona miejsc dziesiętnych. Powstaje jednak pytanie "po co?". Przecież dla potrzeb techniki wystarcza znajomość 3-4 miejsc dziesiętnych, a w obliczeniach astronomicznych, gdzie występują duże liczby (które powodują duże błędy), wystarcza zupełnie 6-8 miejsc.

Oczywistą odpowiedzią jest, że to świetna reklama dla firm produkujących komputerowe procesory. Nie należy bowiem sądzić, że dla obliczenia π z dużą dokładnością wystarczy włączyć komputer i cierpliwie czekać. Pojemność pamięci jest przecież ograniczona, a rachunki i zapis liczb tylko przybliżone.

Istnieje jednak wiele interesujących teoretycznych pytań dotyczących rozwinięcia liczby π. Wiadomo, że rozwinięcie to nie jest okresowe (bo π jest liczbą niewymierną, co udowodnił niemiecki matematyk Jan Lambert w 1768 roku), ale może istnieje jakaś prawidłowość w pojawianiu się kolejnych cyfr? Czy wszystkie cyfry pojawiają się tak samo często? Czy wszystkie pojawiają się nieskończenie wiele razy? Czy w rozwinięciu dziesiętnym π można odnaleźć wszystkie liczby naturalne? 

Na ten temat ciekawy wiersz napisała nasza noblistka - Wisława Szymborska. Zobacz tutaj. Swoje trzy grosze dorzucił też jej osobisty sekretarz, krakowski poeta - Michał Rusinek. Zobacz tutaj. Z powodu niewymierności π i braku zauważalnej regularności w pojawianiu się cyfr jej rozwinięcia, modne stało się układanie wierszyków, które pozwalają łatwo podać takie początkowe cyfry. Zobacz tutaj i tutaj.

Wiadomo też, że π jest liczbą przestępną, czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Udowodnił to niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann w 1882 roku (rozstrzygając tym samym starożytny problem niemożliwości dokonania kwadratury koła). Zatem niewymierność liczby π jest zupełnie innego rodzaju niż np. niewymierność √2. 

Magia liczby π nadal działa. Hipotezami dotyczącymi jej rozwinięcia dziesiętnego zajmuje się wielu zawodowych matematyków i informatyków, a także amatorów-pasjonatów. Dokonali oni kilku ciekawych odkryć, np. po obejrzeniu miliona cyfr okazało się, że częstości występowania poszczególnych cyfr są bardzo bliskie 100 000 (co potwierdza hipotezę, że każda cyfra występuje w rozwinięciu π nieskończenie wiele razy, a gęstość jej występowania jest równa 1/10). Obserwacje te są teraz uogólniane na dowolne skończone układy cyfr, więc może za jakiś czas hipoteza z wiersza Szymborskiej doczeka się dowodu.

π-ciekawostki

Jeśli chcesz sprawdzić, gdzie w rozwinięciu liczby π występuje np. Twoja data urodzenia, zajrzyj na stronę, gdzie opublikowano pierwszy milion cyfr tego rozwinięcia:  
http://www.314159265358979323846264338327950288419716939937510582097
494459.com/

Może zrobić to za Ciebie komputer na stronie:
http://www.facade.com/legacy/amiinpi .

Jeśli chcesz posłuchać liczby π, wiedząc, że każdej liczbie odpowiada pewna wysokość (częstotliwość) dźwięku, to melodii wygrywanej przez kolejne cyfry rozwinięcia π możesz posłuchać na stronie:
http://www.geocities.com/Vienna/9349/index.html.

W dziale Mat-szarady możesz rozwiązać ciekawe pi-busy, czyli rebusy z liczbą pi.

π-nonsensy

W dniu liczby pi polskie media potrafią zaskoczyć niejednego zawodowego matematyka swoimi rewelacyjnymi "doniesieniami". Oto kilka odnotowanych w latach ubiegłych:

  • π  to liczba nieskończona (radio ZET),
  • π występuje we wzorach na pole i objętość wszystkich figur (radio ZET),
  • pole koła to πr2, więc nigdy nie jest liczbą całkowitą.
π-tania
  • Gdyby orbita Plutona była okręgiem, to jak dokładna wartość π byłaby potrzebna, żeby wyznaczyć jej długość z dokładnością do 1 mm?

 

A według TVP pi to 3/14!

A według TVP pi to 3/14. Zobaczcie!

A ja lubie takie 'pi'...

pi ≈ 355/113 
Lubię je, bo łatwo je zapamiętać 113355 :)  i daje dokładność 6 miejsc po przeciku.

Dzień pi

Dzień liczby pi świętuje się przede wszystkim w szkołach, a 22 lipca są wakacje. Dlatego 14 marca jest lepszy - trwa wtedy rok szkolny:)

Powrót na górę strony