Reszka-orzeł-reszka-orzeł-reszka-... - czy nie tak powinien statystycznie wyglądać ciąg wyników kolejnych rzutów sprawiedliwą monetą? Każdy wie jednak, że zdarza się przecież, że pod rząd wypadnie kilka orłów lub kilka reszek. Ile wypada ich pod rząd średnio?
Obliczmy:
- szansa, że po wypadnięciu orła zdarzy się reszka (czyli że pod rząd wypadnie tylko jeden orzeł), to oczywiście 1/2;
- szansa, że po wypadnięciu orła zdarzy się ciąg orzeł-reszka (czyli że pod rząd wypadną kolejno dokładnie dwa orły), to 1/4 = 1/2 (orzeł) · 1/2 (reszka) - przyjmujemy, że kolejne rzuty są zdarzeniami niezależnymi, tzn. wynik jednego rzutu nie ma wpływu na następny (nie wiemy co prawda, czy rzeczywiście tak jest, ale taki najprostszy model okazuje się mieć potwierdzenie w rzeczywistych eksperymentach - przyroda jest najprawdopodobniej "układem bez pamięci" - szansa wyrzucenia sprawiedliwą monetą reszki nie zmienia się w czasie);
- szansa, że po wypadnięciu orła zdarzy się ciąg orzeł-orzeł-reszka (czyli że pod rząd wypadną kolejno dokładnie trzy orły), to 1/8 = 1/2 · 1/2 · 1/2;
- itd. - prawdopodobieństwo wypadnięcia po kolei dokładnie n orłów wynosi (1/2)n.
Zauważmy, że wymienione wyżej zdarzenia są rozłączne (jeśli ciąg kolejnych orłów ma długość 2, to nie ma długości 3), więc prawdopodobieństwo zdarzenia będacego ich sumą wynosi 1/2+(1/2)2+(1/2)3+... , a to równa się 1, bo jest to przecież zdarzenie pewne.
Jeśli chcemy teraz stwierdzić, ile orłów pod rząd zdarzy się średnio, powinniśmy obliczyć tzw. wartość oczekiwaną liczby kolejno wyrzucanych orłów, czyli sumę iloczynów możliwych długości ciągów orzeł-orzeł-orzeł-... i ich prawdopodobieństw: 1/2·1+(1/2)2·2+(1/2)3·3+... (tzn. z prawdopodobieństwem ("wagą") 1/2 uwzględniamy ciąg długości 1, z prawdopodobieństwem (1/2)2 - ciąg długości 2 itd.).
Spróbujmy obliczyć tę sumę za pomocą jej sprytnego rozpisania:
1/2·1+(1/2)2·2+(1/2)3·3+(1/2)4·4+... =
= 1/2+(1/2)2+(1/2)3+(1/2)4+...+
+(1/2)2+(1/2)3+(1/2)4+...+
+(1/2)3+(1/2)4+...+
+(1/2)4+...+
+...+ =
= 1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + ...
wynoszą właśnie tyle, bo każdy następny wiersz
ma składniki o połowę mniejsze niż poprzedni),
a ta ostatnia suma to po prostu 1+1 = 2.
Okazuje się więc, że pod rząd wypadają średnio dwa orły, a zatem lepszym niż podane na początku przybliżeniem kolejnych wyników rzutów sprawiedliwą kostką jest np. ciąg reszka-reszka-orzeł-orzeł-reszka-reszka-orzeł-orzeł-...
Oczywiście nie należy sądzić, że każdy ciąg, który od takiego jak wyżej odbiega, świadczy o asymetrii monety. W takich sytuacjach stosuje się metody statystyki, które umożliwiają nie tylko obliczenie, jak prawdopodobne jest otrzymanie takiego właśnie ciągu, jaki nam wypadł, ale i zmierzenie, jak dalekie odbieganie od wartości oczekiwanej jest jeszcze wiarogodne, a jakie już nie i powinno budzić podejrzenie, że moneta jest niesprawiedliwa. Dzięki znajomości tych metod można np. z dużym prawdopodobieństwem rozpoznawać, czy podany przez kogoś ciąg wyników rzutu monetą został uzyskany w faktycznym doświadczeniu, czy też został "zmyślony", tzn. sztucznie wygenerowany przez człowieka.
Uwagi (tylko dla dorosłych)
Zaniepokojonym wykonywanymi tu bez uzasadnienia poprawności działaniami na nieskończonych sumach wyjaśniamy, że wszystkie je można matematycznie sprecyzować i właśnie w ten sposób przeprowadzać. Są to dość elementarne rachunki z analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa. Da się również uzasadnić, że ukryte tu szeregi funkcyjne (potęgowe) można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie, a posiadając te umiejętności, można nasz powyższy rezultat otrzymać w bardziej sztampowy (choć wcale nie łatwiejszy do wpadnięcia nań) sposób.
Zadania
1. Zasymuluj wielokrotny rzut monetą na komputerze
A) pisząc odpowiedni program modelujący,
B) za pomocą arkusza kalkulacyjnego
i sprawdź, z jak dobrym przybliżeniem wyniki potwierdzają otrzymany powyżej wynik.
2. Jaka jest średnia długość ciągu orłów przy uwzględnieniu dowolnego wyniku pierwszego rzutu (niekoniecznie orła, więc dopuszczamy teraz zerową długość ciągu)?
3. Rzucamy monetą. Ile średnio trzeba czekać na wypadnięcie pierwszego orła? Ile rzutów dzieli średnio dwa kolejne orły? A ile reszek dzieli wyrzuconego orła, po którym wypadła reszka, od następnego? Oblicz i / albo wykonaj symulację.
4. Rozważ powyższe problemy dla rzutu kostką i otrzymania Twojego ulubionego wyniku.
Cdn.
