Wykresy z oddali

Wykresy z oddali

Data ostatniej modyfikacji:
2008-12-27

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Dział matematyki:

funkcje

Poziom edukacyjny:

szkoła średnia z maturą

Co widać, gdy będziemy oddalali się od wykresu funkcji dalej i dalej, i dalej...? Co widać, gdy jednostki, jednakowe na obu osiach, będą wyglądały na coraz mniejsze? Możesz to po prostu zobaczyć. Lepiej jednak najpierw... pomyśleć.
Zawsze też można sprawić sobie własny wykres, np. za pomocą 'wykresownika' - na górze strony (dostępny jest na wszystkich stronach Portalu). Pamiętaj jednak, że chcemy 'zobaczyć' nie konkretny wykres, lecz to, co z niego 'pozostaje w umyśle', gdy 'oddalimy się w nieskończoność'.

Prawie nic się nie dzieje z funkcjami liniowymi, stale wyglądają tak samo:

Piszemy 'prawie', bo widać, że przesuwają się jakby do początku układu współrzędnych.
Funkcje postaci y = a x + b upodabniają się do funkcji y = a x.
Zanotujemy to schematycznie: dla a > 0 oraz dla a < 0.
Dla a = 0 funkcje 'przylepiają" się do osi OX, co zapiszemy:

Zobaczmy kilka przykładów bardziej skomplikowanych funkcji.

Parabole y = ax² + bx +c 'zwijają kielichy', upodabniając się do jednej z półosi osi OY.
Zakodujemy to następująco: dla a > 0 oraz dla a < 0,
Oczywiście y = x⁴ też ma kod , a y = x³ przykleja się do całej osi OY: (sprawdź).

Jakie kody przypiszesz powyższym funkcjom? Odp.: oraz

przykłady funkcji z wartością bezwględną

Nawet dość skomplikowane funkcje wyglądają z daleka bardzo prosto. Popatrz.

Podaj przykłady funkcji (wykresy i wzory) o kodach: d) e) f) g)

Są jednak funkcje, które nie mają tak prostych kodów, i które z daleka też wyglądają na skomplikowane. Poniżej znajdziesz takie przykłady. Spróbuj jednak najpierw sam.

przykłady funkcji bez prostych kodów

Są nawet takie funkcje (oprócz liniowych), które z daleka wyglądają prawie tak samo, jak z bliska. Są 'samopodobne' - w dowolnej skali wyglądają jednakowo.

przykłady funkcji 'samopodobnych'

Na koniec uzupełnij sformułowanie poniższego twierdzenia.

Twierdzenie. Rozważmy wielomian stopnia n > 1, to jest funkcję postaci