Zoom, zoom, zoom... i twierdzenia

Będziemy badali własności operatorów Hatchinsona postaci

H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) ... J_Pn^sn(A) ,

Na początek zauważmy na przykładzie 'uszczelki', że

zaczynając od koła:

od równoległoboku:

lub od jakiejkolwiek innej figury początkowej, dostajemy 'w nieskończoności' stale tę samą figurę.

Figura ta zależy więc tylko od jednokładności, czyli od środków: P₁, P₂, P₃ i skal: s₁, s₂, s₃, operatora H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) J_P3^s3(A).

Tak jest również w innych przykładach. Graniczna figura, powstała 'po wykonaniu nieskończenie wielu' powtórzeń (iteracji) operatora Hatchinsona, nazywana jest atraktorem tego operatora. Oznaczymy ją symbolem H₀ . Mówi o tym następujące twierdzenie:

Twierdzenie A.   Niech H będzie dowolnym operaterem Hatchinsona (jak na wstępie).
Istnieje figura H₀ taka, że dla dowolnej (domkniętej i ograniczonej) figury początkowej A ciąg iteracji A, H(A), H(H(A)), H(H(H(A))),... jest zbieżny do tej figury H₀.

Twierdzenie B.   Dla dowolnego operatora Hatchinsona i dowolnej figury A mamy:
jeśli A zawiera figurę H(A), to A zawiera również atraktor H₀ i H(A) zawiera atraktor H₀.

Twierdzenie C.   Dla dowolnego operatora Hatchinsona i dowolnej figury A mamy:
jeśli A = H(A), to H₀ = A.

Badając różne przykłady, widzimy że nie zawsze powstają piękne 'dziurawe' figury, czasami powstają kształty proste, dobrze znane ze szkoły. Poniżej będziemy badać, od czego to zależy. Chcemy znaleźć warunki, przy których atraktor operatora Hatchinsona jest prosty. Wtedy (pośrednio) zbadamy, kiedy jest 'ładny', tzn. skomplikowany.

Zaczniemy od twierdzeń na temat operatora H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) zbudowanego z dwóch jednokładności o środkach P₁, P₂.

Tw. 2a.   Niech H(A) = J_P1^1/2(A) J_P2^1/2(A).
Wtedy H₀ = P₁P₂ (czyli atraktor H₀ jest odcinkiem P₁P₂ ).

Dowód

Zobaczmy jakie jest H(A) dla A będącego odcinkiem P₁P₂.
Jednokładne obrazy A są odcinkami: P₁Q i P₂Q
i sumują się do odcinka P₁P₂ .
Zatem H(A) = A, więc na podstawie tw. C, atraktorem tego operatora jest A, odcinek P₁P₂.

 Tw. 2b.   Niech H(A) = J_P1^3/4(A) J_P2^1/4(A).
Wtedy H₀ = P₁P₂.

Dowód

Jak poprzednio niech A będzie odcinkiem P₁P₂.
Jednokładne obrazy A są odcinkami: P₁Q i P₂Q
i sumują się do odcinka P₁P₂.
Zatem H(A) = A, więc na podstawie tw. C, atraktorem tego operatora jest A, odcinek P₁P₂.

 Tw. 2c.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^{1 - s}(A).
Wtedy H₀ = P₁P₂.

Dowód

Jak poprzednio niech A będzie odcinkiem P₁P₂.
Jednokładne obrazy A są odcinkami: P₁Q i P₂Q
i sumują się do odcinka P₁P₂.
Zatem H(A) = A, więc na podstawie tw. C, atraktorem tego operatora jest A, odcinek P₁P₂.

Tw. 2d.   Niech H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A)  i s₁ + s₂ 1.
Wtedy H₀ = P₁P₂.

Dowód

Jak poprzednio niech A będzie odcinkiem P₁P₂.
Jednokładne obrazy A są odcinkami: P₁Q₁ i P₂Q₂
i sumują się do odcinka P₁P₂.
Zatem H(A) = A, więc na podstawie tw. C, atraktorem tego operatora jest A, odcinek P₁P₂.

Tw. 2e.   Niech H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A)  i s₁ + s₂ < 1.
Wtedy H₀ nie jest odcinkiem, jest pewną częścią odcinka P₁P₂.

Dowód

Niech A będzie odcinkiem P₁P₂.
Jednokładne obrazy A są odcinkami: P₁Q₁ i P₂Q₂, których łączna długość jest mniejsza od długości odcinka P₁P₂.
Zobaczmy H(H(A)), jest to suma 4 odcinków zawartych w H(A).
Na podstawie tw. B, atraktorem tego operatora jest podzbór H(A), czyli figura, która nie zawiera żadnego punktu z wnętrza odcinka Q₁Q₂.

Tw. 2.   Niech H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A).
Wtedy H₀ jest odcinkiem P₁P₂ wtedy i tylko wtedy, gdy s₁ + s₂ 1.

Zatem dla H(A) = J_P1^3/4(A) J_P2^1/3(A), zaczynając od trójkąta (lub czegokolwiek innego), dostajemy odcinek P₁P₂ (choć na pierwszy rzut oka tego nie widać).

 
 
 
Przeanalizujmy działanie operatorów H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) J_P3^s3(A) zbudowanych z trzech jednokładności o środkach P₁, P₂, P₃ tworzących trójkąt.

Tw. 3a.   Niech H(A) = J_P1^1/2(A) J_P2^1/2(A). J_P3^1/2(A).
Wtedy H₀ nie jest trójkątem P₁P₂P₃.

Dowód

Niech A będzie trójkątem P₁P₂P₃.
Jednokładne obrazy A są trójkątami o łącznym polu równym
3^.(1/2)² = 3/4 pola trójkąta P₁P₂P₃. Na podstawie tw. B, atraktorem tego operatora jest podzbiór H(A), czyli figura, która ma pole nie większe niż 3/4 pola trójkąta P₁P₂P₃. Zatem H₀ nie jest trójkątem P₁P₂P₃.

Zauważmy ponadto, że gdyby wszystkie skale s₁=s₂=s₃=3^-1/2, to również wtedy H₀ nie jest trójkątem P₁P₂P₃ (patrz rys.).

Tw. 3b.   Niech H(A) = J_P1^2/3(A) J_P2^2/3(A). J_P3^2/3(A).
Wtedy H₀ jest trójkątem P₁P₂P₃.

Dowód

Niech A będzie trójkątem P₁P₂P₃.
Jednokładne obrazy A są trójkątami podobnymi do trójkąta P₁P₂P₃ i zawierają wspólny punkt - przecięcie środkowych tego trójkąta (bo środkowe przecinają się w punkcie dzielącym je w stosunku 1:2). Zatem te trzy trójkąty sumują się do trójkąta P₁P₂P₃. Na podstawie tw. C, atraktorem tego operatora jest trójkąt P₁P₂P₃.

Tw. 3c.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A). J_P3^s(A).
Wówczas H₀ jest trójkątem P₁P₂P₃ wtedy i tylko wtedy, gdy s 2/3.

Dowód

Niech A = P₁P₂P₃. Wtedy H(A) jest zawarte w A.

gdy s < 2/3 punkt przecięcia środkowych trójkąta P1P2P3 nie leży w H0, więc H0 nie jest trójkątem P1P2P3.

gdy s = 2/3 na podstawie tw. 3b. H0 jest trójkątem P1P2P3

gdy s > 2/3 podobnie jak w tw. 3b. H0 jest trójkątem P1P2P3

Tw. 3.   Niech H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) J_P3^s3(A).
Wówczas H₀ jest trójkątem P₁P₂P₃ wtedy i tylko wtedy, gdy s₁ + s₂ + s₃ 2.

Dowód (tylko w przypadku, gdy s₁ + s₂ > 1)

Niech A = P₁P₂P₃. Wtedy H(A) jest zawarte w A.
Zauważmy, że jeśli s₁ + s₂ > 1, to część wspólna obrazów J_P1^s1(A), J_P2^s2(A) jest trójkątem, nazwijmy go T.
Trójkąt T jest podobny do trójkąta A (dlaczego?).
Bok T równoległy do P₁P₂ ma długość równą (s₁ + s₂ - 1) długości boku P₁P₂ (dlaczego?).
Zatem jego wysokość opuszczona na ten bok ma długość równą (s₁ + s₂ - 1) długości wysokości trójkąta A opuszczonej na bok P₁P₂ (dlaczego?).
Na koniec zauważmy, że obraz J_P3^s3(A) zachacza o trójkąt T
o ile s₃ (1 - (s₁ + s₂ - 1)) = 2 - s₁ - s₂,
a ten warunek jest równoważny stwierdzeniu: H(A) = A.

s3 < 2 - s1 - s2

s3 = 2 - s1 - s2

s3 > 2 - s1 - s2

Przeanalizujmy teraz operatory H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) J_P3^s3(A) J_P4^s4(A) zbudowane z czterech jednokładności o środkach P₁, P₂, P₃, P₄, będą kolejnymi wierzchołkami czworokąta wypukłego P₁P₂P₃P₄. Tym razem twierdzenia podamy w wersji niekompletnej mając nadzieję, że Czytelnik znajdzie przyjemność w samodzielnym odkryciu tezy.

Tw. 4a.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A) J_P4^s(A), gdzie P₁P₂P₃P₄ jest kwadratem.
Wówczas H₀ jest kwadratem P₁P₂P₃P₄ wtedy i tylko wtedy, gdy s 1/2.

Tw. 4b.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A) J_P4^s(A), gdzie P₁P₂P₃P₄ jest równoległobokiem.
Wówczas H₀ jest równoległobokiem P₁P₂P₃P₄ wtedy i tylko wtedy, gdy s 1/2.

Tw. 4c.   Niech H(A) = J_P1^s1(A) J_P2^s2(A) J_P3^s3(A) J_P4^s4(A), gdzie P₁P₂P₃P₄ jest kwadratem.
Wówczas H₀ jest kwadratem P₁P₂P₃P₄ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą (wszystkie) nierówności:   s₁ + s₂ 1,   s₂ + s₃ 1,   s₃ + s₄ 1,   s₄ + s₁ 1.  

Tw. 4d.   Niech H(A) = J_P1^1/2(A) J_P2^1/2(A) J_P3^1/2(A) J_P4^1/2(A).
Wówczas H₀ jest czworokątem P₁P₂P₃P₄ wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt P₁P₂P₃P₄ jest równoległobokiem.  

Na koniec przedstawimy kilka trochę trudniejszych zadań.

Tw. Ta.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A) J_P4^s(A), gdzie czworokąt P₁P₂P₃P₄ jest trapezem prostokątnym o podstawach długości 2 i 1 i wysokości równej 2.
Wówczas H₀ jest trapezem P₁P₂P₃P₄ wtedy
i tylko wtedy, gdy s 3/5.  

Wskazówka

Zmodyfikuj rozumowanie z dowodu Tw. 3c.

Tw. T.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A) J_P4^s(A), gdzie czworokąt P₁P₂P₃P₄ jest trapezem o podstawach długości a i b gdzie a > b.
Wówczas H₀ jest trapezem P₁P₂P₃P₄ wtedy i tylko wtedy, gdy s (2a-b)/(3a-b).  

Wskazówka

'Uwolnij się' od wysokości w poprzednim rozumowaniu.

Tw. Wn.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A) ... J_Pn^s(A), gdzie wielokąt P₁P₂P₃...P_n jest wielokątem foremnym.
Wówczas H₀ jest wielokątem P₁P₂P₃...P_n wtedy i tylko wtedy, gdy s OJ TROCHĘ WIĘCEJ SAMODZIELNOŚCI!  

Tw. Pa.   Niech H(A) = J_P1^s(A) J_P2^s(A) J_P3^s(A), gdzie P₃ jest środkiem odcinka P₁P₂.
Wówczas H₀ jest odcinkiem P₁P₂ wtedy i tylko wtedy, gdy s 1/3.  

Tw. Pb.   Niech H(A) = J_P1^1/3(A) J_P2^1/3(A) J_P3^1/3(A).
Wówczas H₀ jest odcinkiem P₁P₂ wtedy i tylko wtedy, gdy P₃ jest środkiem odcinka P₁P₂.