Na poniższym rysunku widać całą kolekcję wielokątów z 'zaokrąglonymi' wierzchołkami. Tylko w bardzo specyficznych przypadkach 'zaokrąglenia' te są łukami okręgów. Podamy opis tego sposobu 'zaokrąglania'. Zależy on od parametru s.
Dla s < 1 'zaokrąglenia' wygięte są w złą stronę - jednak omawiamy i takie przypadki.
Przypadek s = 1 jest najprostszy. Łączymy odcinkami środki sąsiednich boków danego wielokąta. Powstaje kanciaste 'zaokrąglenie'.
Ogólnie dla dowolnego s = 1 'zaokrąglenie' składa się z wielu linii łączących środki sąsiednich boków wielokąta. Sposób budowania tych linii omówimy na oddzielnym rysunku, gdzie pokażemy tylko jedną linię, łączącą punkty P i Q.
Poniższy rysunek pokazuje, że pomysł linii łączących P i Q jest modyfikacją opisu odcinka łączącego P i Q.
(Zmieniaj położenie suwaka t. Możesz zmieniać też położenie punktów O, P, Q.)
Zobaczymy, jakie linie powstają w pewnych szczególnych przypadkach.
Najpierw znajdziemy równania tych linii, gdy punkty O, P, Q mają współrzędne:
- dla s = 1,5 jest to asteroida,
- dla s = 0,5 jest to okrąg.
(Przesuń suwak [show] i ustaw odpowiednią wartość s.)
ZADANIE 1.
Dla s = 0,5, O = (0,0) i punktów P i Q, leżących na osiach
OX i OY, powstałe linie są elipsami.
Uzasadnij to w przypadku konkretnych punktów P i Q, rozumując analogicznie, jak podano w wyjaśnieniu do poprzedniego rysunku.
Na poniższym rysunku wyprowadzone jest równanie linii łączącej P(3,3) i Q(-4,2), gdy O(0,0).
ZADANIE 2.
Znajdź równanie linii łączącej P i Q, gdy:
a) s = 0,5, O = (2, 3), P = (3, 3), Q = (2, 4),
b) s = 0,5, O = (2, 3), P = (-5, 3), Q = (2, 4),
c) s = 0,5, O = (2, 3), P = (-1, 7), Q = (6, 5).
Dla s = 2, O = (0,-1), P = (3,3), Q = (-3, 3) powstaje parabola. Wyprowadzenie jej równania widać na rysunku.
ZADANIE 3.
Znajdź równania linii łączącej P i Q, gdy:
a) s = 2, O = (0, 0), P = (2, 2), Q = (-2, 2),
b) s = 2, O = (0, -2), P = (3, 0), Q = (-3, 0),
c) s = 2, O = (0, 4), P = (2, 2), Q = (-2, 2),
d) s = 2, O = (0, 4), P = (2, 12), Q = (-2, 12).
ZADANIE 4.
Znajdź równania linii łączącej P i Q, gdy:
a) s = 2, O = (1, 0), P = (0, 0), Q = (2, 4),
b) s = 2, O = (-2, 1), P = (0, 1),
Q = (-4, 17),
c) s = 2, O = (1,5, 2), P = (1, 1),
Q = (2, 4),
d) s = 2, O = (1, 0), P = (-1, 1), Q = (-1, -1).
ZADANIE 5.
Jak nazywa się linia otrzymana gdy:
a) s = 2, O = (0, 0), P = (1, 0), Q = (0, 1),
b) s = -1, O = (0, 0), P = (1, 0), Q = (0, 1).
ZADANIE 6**.
Czy jest takie s > 1, że dla punktów O = (0, 0), P = (1, 0), Q = (0, 1) linia łącząca
P i Q jest łukiem okręgu?
