Kardioida jest linią w kształcie serca. Wykreśla ją punkt brzegu koła toczącego się po nieruchomym kole o takim samym promieniu. Podobne kształty można uzyskać, tocząc inne figury. Przyjrzymy się im.
Niech po kole o promieniu R toczy się (bez poślizgu) koło o takim samym promieniu. Ustalony punkt brzegu toczącego się koła (na przykład S') wykreśla linię zamkniętą, zwaną kardioidą. Oznaczmy ją symbolem K1.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Jaka jest długość K1? Jakie jest pole obszaru ograniczonego tą linią?
Aby to zbadać, rozważmy n-kąty foremne Wn wpisane w koło o promieniu R. (Ograniczymy się tylko do parzystych n.) Po Wn toczymy taki sam wielokąt Wn'. W czasie ruchu ustalony wierzchołek S'' toczącego się wielokąta Wn', zakreśla pewną linię. Oznaczmy ją symbolem K1n.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Widać, że pola obszarów ograniczonych liniami K1n coraz lepiej przybliżają pole obszaru ograniczonego kardioidą K1.
Wskazówka 1
Pole obszaru ograniczonego przez K1n jest równe
R2.Stąd dostajemy:
R2.
Długość linii K1n jest równa sumie
(p1 + p2 + ... + pn-1).Dalej jest trudno i to z dwóch powodów. Nie jest łatwo pokazać, że:
- suma w powyższym nawiasie jest prawie równa 4nR/, dla dużych n,
- długość kardioidy K1
jest przybliżana przez długości linii K1n.
Odnotujmy zatem tylko, że długość kardioidy K1 jest równa 16R.
Uwaga 1. Połowa długości kardioidy jest równa długości jednego okresu cykloidy - linii, jaką wykreśla punkt koła toczącego się po prostej. Również połowa pola obszaru ograniczonego kardioidą jest równa polu obszaru pod jednym okresem cykloidy. To nie może być przypadkowa zbieżność wyników. Trzeba to będzie kiedyś zbadać.
Niech po kole o promieniu R toczy się (bez poślizgu) odcinek AB o długości równej połowie obwodu koła, czyli R. Ustalony koniec odcinka (na przykład A) wykreśla linię zamkniętą o kształcie przypominającym kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K2.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Jaka jest długość K2? Jakie jest pole obszaru ograniczonego tą linią?
Aby to zbadać, rozważmy n-kąty foremne Wn wpisane w koło o promieniu R. (Ograniczymy się tylko do parzystych n.) Po Wn toczymy odcinek A'B' o długości równej połowie obwodu wielokąta Wn. W czasie ruchu koniec A' toczącego się odcinka zakreśla pewną linię. Oznaczmy ją symbolem K2n.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Długość badanej linii K2 i pole obszaru przez nią ograniczonego są przybliżane przez długości linii K2n i pola obszarów ograniczanych przez K2n. Jakie są te długości i pola?
Tym razem obliczenie długości i pól jest znacznie prostsze. Proszę spróbować zrobić to samodzielnie.
Wskazówka 1.
Wskazówka 2.
Stąd łatwo dostajemy, że
2
R,pole obszaru ograniczonego przez K2 jest równe 5/6
3
R2 + R2.
Niech B oznacza figurę w kształcie boiska, tzn prostokąt 2R × H z doklejonymi dwoma półkolami o średnicach równych 2R. Niech po B toczy się (bez poślizgu) kopia B. Ustalony punkt brzegu toczącego się B wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K3.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Nie będziemy badać długości K3, ani pola obszaru ograniczonego tą linią.
Zauważmy tylko, że w przeciwieństwie do K1 i K2 linia ta ma dwa 'zagięcia' (różne od S), tym większe, im większe jest H.
Jaki jest kąt tych 'zagięć'? (Na rysunku można znaleźć podpowiedź.)
Niech T oznacza figurę będącą sumą trzech wycinków kół (szóste części całych kół) o promieniach R. Jest to tak zwany trójkąt Reuleaux będący przykładem figury o stałej szerokości.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Niech po T toczy się (bez poślizgu) kopia T. Ustalony 'wierzchołek' toczącego się T (na przykład S') wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K4.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Nie będziemy badać długości K4, ani pola obszaru ograniczonego tą linią.
Zauważmy tylko, że choć T ma trzy punkty 'zagięcia', to
utworzona linia nie ma takich zagięć (za wyjątkiem punktu S).
Zadziwiające?
Niech Tm oznacza figurę będącą sumą m wycinków kół o promieniach R przedstawionych na poniższym rysunku. Jest to także przykład figury o stałej szerokości.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Niech po Tm toczy się (bez poślizgu) kopia Tm. Ustalony 'wierzchołek' toczącego się Tm wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K4m.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Zauważmy, że choć Tm ma m punktów 'zagięć', to utworzona linia nie ma 'zagięć' (za wyjątkiem punktu S).
Zadziwiające?
Niech Tm,r oznacza figurę będącą sumą 2m wycinków kół o promieniach R i r przedstawionych na poniższym rysunku. Jest to kolejny przykład figury o stałej szerokości.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Gdy po Tm,r toczy się bez poślizgu kopia Tm,r, to ustalony punkt brzegu toczącego się Tm,r wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę.
|
Rysunek utworzony w Geogebrze |
Ładne?
