Wigwamy jak stożki

Poniższy wigwam typu "bramka" o szerokości 2R i wysokości H ma stelaż-siatkę zbudowaną z odcinków, których końce dzielą poprzeczkę AB i łuk półokręgu w tym samym stosunku. W szczególności, gdy P jest środkiem AB, to Q jest środkiem łuku CD. Ogólnie:

AP / PB   =   COQ / QOD .

Powyższa reguła będzie obowiązywała stale, choć zmieniać będziemy odcinek AB i łuk CD. Interesować nas będzie powierzchnia siatki i objętość wigwamu, czyli bryły tą siatką ograniczonej (o podstawie będącej częścią koła).

Najpierw zajmiemy się prostymi wigwamami.

Na początek niech punkt A pokrywa się ze środkiem O podstawy i niech odcinek AB będzie prostopadły do podstawy. Ten wigwam ma trójkątne wejście ABD (niezależnie od kąta a).
Jaka jest jego objętość V?

ROZUMOWANIE
Zobacz przekroje PQO tej bryły. Gdy na odcinku AB wybierzemy punkty P_k dzielące go na n równych części, to odpowiadające im punkty Q_k podzielą łuk CD na jednakowe części, więc odcinki OQ_k podzielą podstawę na n jednakowych wycinków.
Cały wigwam jest teraz podzielony na n sektorów.
Sektory wyglądają (niemal) jak ostrosłupy o jednakowych podstawach. Różnią się jedynie wysokościami.
Punkty P_k i P_n–k leżą symetrycznie względem punktu S - środka odcinka AB. Zatem suma objętości sektorów odpowiadających punktom P_k i P_n–k jest równa dwukrotności objętości sektora odpowiadającego punktowi S.
Objętość V całego wigwamu jest równa sumie objętości par sektorów, więc wynosi
n × objętość sektora odpowiadającego punktowi S, czyli dostajemy

WZÓR

Uwaga 1. Powyższe rozumowanie tylko w jednym miejscu nie jest precyzyjne, gdy mówimy, że sektory są niemal ostrosłupami. Można to sprecyzować, szacując z góry i z dołu objętość sektora objętościami ostrosłupów o wierzchołkach P_k i P_k+1.

Dlaczego nie podaliśmy wzoru na objętość za pomocą jakichś znaczków, tylko słowami?
Poniżej zobaczymy, że takie sformułowanie jest wygodniejsze i bardziej uniwersalne.

Sprawdź, że zarówno wzór na objętość jak i całe rozumowanie są poprawne w przypadku, gdy podstawą wigwamu jest:
    - pełne koło ( a = 360 ),
    - ćwiartka koła ( a = 90 ),
    - dowolny wycinek koła ( 0 < a < 360 ).

Sprawdź, że zarówno wzór na objętość jak i całe rozumowanie są poprawne w przypadku, gdy punkty A, B leżą na prostopadłej do podstawy przechodzącej przez punkt O.

Sprawdź, że zarówno wzór na objętość jak i całe rozumowanie są poprawne w przypadku, gdy punkty A, B, O są współliniowe.

Gdy punkty A, B, O nie są współliniowe, objętość jest większa niż ta podana we wzorze.
Pokażemy to na szczególnym przykładzie wigwamu o podstawie będącej półkolem,  gdy ABDC jest prostokątem prostopadłym do podstawy.

Podział odcinka AB na n jednakowych części wyznacza podział wigwamu na n sektorów.
Przyjrzyjmy się k-temu sektorowi OPP'QQ' (tu i dalej nie piszemy indeksu k przy tych punktach).

Dzielimy go na dwa czworościany: OQQ'P' i OPP'Q. Mamy

Łatwo obliczamy pierwszą sumę:

Druga jest równa:

Suma w nawiasie jest powierzchnią boczną klina, o czym pisaliśmy już w tekście Klina klinem, i jest równa 2R ². Stąd

Zatem

Jak skomplikowane mogą być wigwamy? Zobacz.