Wierzchołki piramid z wyższego punktu widzenia

W artykule Wierzchołki piramid badaliśmy na przykładach wielu piramid liczbowych podstawowe własności operacji S - uśredniania wiersza oraz W - wyznaczania wierzchołka piramidy. Tutaj omówimy dalsze własności tych operacji, ale w nieco innej formie. Wprowadzimy zwięzłą notację, która pozwoli krótko i przejrzyście notować własności, a także jest wygodna przy ich uzasadnianiu. W przykładach 2 - 7 pokazujemy kilka różnych metod dowodzenia tych własności.
Choć materiał ten należy raczej do matematyki 'rozrywkowej', to miejscami dotyka on jednak matematyki 'na serio'.

NOTACJA
Napis [a_k]_kn oznacza listę (ciąg) o n+1 wyrazach: a₀, a₁, a₂, ..., a_n (numeracja od ZERA).
Na przykład  [k³]_k4  = [0, 1, 8, 81, 256].
Napis   p [ a_k ]_kn + q [ b_k ]_kn  oznacza listę [ p ^. a_k + q ^. b_k ]_kn ,  na przykład
 2 [k²]_k4 + (-1) [k³]_k4  =  2 [0, 1, 4, 9, 16] + (-1) [0, 1, 8, 81, 256]  =  [0, 1, 0, -63, -224].

DEFINICJA 1 
Operację S określa wzór:   S ( [ a_k]_kn ) = [ (a_k + a_k+1) / 2 ]_{kn - 1},  czyli dla danej listy L tworzymy nową listę S (L), dodając i dzieląc przez 2 kolejne pary listy L.
Powtórzenie k-krotne operacji S notujemy symbolem: S ^k (L) = S ( S ^k-1 (L)).

PRZYKŁAD 1.  Dla L = [1, 2, 4, 2, 5] , mamy:
   S (L) = [³/₂, 3, 3, ⁷/₂],
   S ² (L) = S ( [³/₂, 3, 3, ⁷/₂] ) = [⁹/₄, 3, ¹³/₄],
   S ³ (L) = S ([ ⁹/₄, 3, ¹³/₄]) = [ ²¹/₈, ²⁵/₈],
   S ⁴ (L) = S ([ ²¹/₈, ²⁵/₈]) = [ ²³/₈] .
Liczbę W ([1, 2, 4, 2, 5]) =  ²³/₈ nazwiemy wierzchołkiem piramidy o podstawie [1, 2, 4, 2, 5].

DEFINICJA 2 
Piramidą o podstawie  L = [ a_k]_kn nazywamy tablicę list:  L,  S(L),  S ² (L), ..., S ⁿ (L).
Wierzchołkiem W (L) tej piramidy nazywamy (jedyny) element S ⁿ (L).

Podstawowe własności operacji W są następujące:

TWIERDZENIE 1 

  bo:
 S ( p ^. A  +  q ^. B )  = S ( p ^. [ a_k ]_kn + q ^. [ b_k ]_kn )  = S ( [ p ^. a_k + q ^. b_k ]_kn ) = 
  =  [ ( p ^. a_k + q ^. b_k + p ^. a_k+1 + q ^. b_k+1) / 2 ]_{kn - 1}  =
  =  [p ^. ( a_k+a_k+1 ) / 2  + q ^. ( b_k+b_k+1) / 2 ]_{kn - 1} =
  =  p ^. [( a_k+a_k+1 )/2]_{kn - 1} + q ^. [( b_k +b_k+1)/2]_{kn - 1} =
  =  p ^. S ( [ a_k]_kn )  + q ^. S ( [ b_k ]_kn )  =
  = p ^. S ( A )  +  q ^. S ( B ) .

(D)   W ( [ a _k ]_kn )   =   W ( [ a _{n - k} ]_kn ),

bo
piramida o podstawie [ a_k]_kn jest lustrzanym odbiciem piramidy o podstawie [ a_n-k]_kn .

(E)   Gdy wszystkie różnice  a_{k + 1} - a _k  są takie same, to W ( [ a _k ]_kn )   =   (a₀ + a_n) / 2,

bo wtedy   a_k + a _{n - k} = a₀ + a_n , dla każdego k    i
W ( [ a _k ]_kn )   =   ¹/₂ ^. ( W ( [ a _k ]_kn ) + W ( [ a _{n - k} ]_kn ) )   =
                          =   ¹/₂ ^. W ( [ a_k + a _{n - k} ]_kn ) =   ¹/₂ ^. W ( [ a₀ + a_n ]_kn )   =
                          =   ¹/₂ ^. (a₀ + a _n ).

Dzięki tym własnościom, nietrudno można obliczać wierzchołki pewnych piramid:

PRZYKŁAD 2.    W ( [ k ]_kn )   =   n / 2,

 wynika to z twierdzenia 1 (E). Podamy tu też inne uzasadnienie.
 
W ( [ k]_kn )  =  W ( S ( [ k]_kn ) ) = W ( [ ( k + (k+1) ) / 2 ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k + ¹/₂ ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k ]_{kn - 1} )  +  W ( [ ¹/₂ ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k ]_{kn - 1} )  +   ¹/₂  =
                        =  W ( [ k ]_{kn - 2} )  +   ¹/₂  +  ¹/₂  =
                          . . .
                        =  W ([ k ]_k0 ) +  ¹/₂ +  ¹/₂  + ¹/₂ + ... +  ¹/₂  =
                        =         0             +    n ^{.  1}/₂   =
                        =   n / 2.

PRZYKŁAD 3.    W ( [ k ² ]_kn )   =   n ^. (n + 1) / 4 ,

bo:
W ( [ k² ]_kn )  =  W ( S ( [ k² ]_kn ) ) = W ( [ ( k² + (k+1)² ) / 2 ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k² + (k + ¹/₂) ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k² ]_{kn - 1} )  +  W ( [ k + ¹/₂ ]_{kn - 1} ) =
                        =  W ( [ k² ]_{kn - 1} )  +   ⁿ/₂  =
                        =  W ( [ k² ]_{kn - 2} )  +   ^n-1/₂  +  ⁿ/₂  =
                          . . .
                        =  W ([ k² ]_k0 ) +  ¹/₂ +  ²/₂  + ³/₂ + ... +  ^n-1/₂  +  ⁿ/₂  =
                        =         0²            +    n ^. ( ¹/₂ +  ⁿ/₂ ) / 2  =
                        =   n(n+1)/4.

PRZYKŁAD 4.    W ( [ 2 · k² + 3 · k + 4 ]_kn )   =   (n ² + 4n + 8) / 2 ,

bo korzystając z poprzednich przykładów i twierdzeń 1(C) i (B) mamy:
 
W ( [ 2 · k² + 3 · k + 4 ]_kn ) = 2 · W ( [ k ² ]_kn )  +  3 · W ( [ k ]_kn ) + W ( [ 4 ]_kn ) =
             =   2 · n(n+1)/4  +  3 · n/2  +  4  =  (n ² + 4n + 8) / 2.

PRZYKŁAD 5.    W ( [ k ³ ]_kn )   =   n² (n + 3) / 8 ,

bo:
W ( [ k³ ]_kn ) =  ¹/₂ · ( W ( [ k³ ]_kn ) + W ( [ k³ ]_kn ) ) =
   =  ¹/₂ · ( W ( [ k³ ]_kn ) + W ( [ (n - k)³ ]_kn ) ) =
   =  ¹/₂ · W ( [ k³ + (n - k)³ ]_kn ) =
   =  ¹/₂ · W ( [ k³ + n³ – 3 n²·k + 3 n·k² – k³ ]_kn ) =
   =  ¹/₂ · W ( [ n³ – 3 n²·k + 3 n·k² ]_kn ) =
   =  ¹/₂ · n³  –  ¹/₂ · 3n² · W ( [ k ]_kn )  +  ¹/₂ · 3n · W ( [ k² ]_kn ) =
   =  ¹/₂ · n³  –  ¹/₂ · 3n² · n/2  +  ¹/₂ · 3n · n(n+1)/4   =   n² (n + 3) / 8.

PRZYKŁAD 6.    W ( [ a q^k ]_kn )   =  a ^. ( (1+q)/2 ) ⁿ ,

bo:
W ( [ a q^k ]_kn )  = W ( S ( [ a q^k ]_kn ) ) = W ( [ ( a q^k + a q^k+1 ) / 2 ]_{kn - 1} ) =
                           = W ( [ a q^{k .} (1+q)/2 ]_{kn - 1} ) =
                           =  (1+q)/2  ^.  W ([ a q^k ]_{kn - 1} ) =
                           =  (1+q)/2  ^.  (1+q)/2  ^.  W ([ a q^k ]_{kn - 2} ) =
                            . . .
                          = ( (1+q)/2 ) ^{n  .}  W ([ a q^k ]_k0 ) =
                          = ( (1+q)/2 ) ^{n  .}  a.

PRZYKŁAD 7.    W ( [ x ^k · y ^n–k ]_kn )   =  ( (x + y)/2 ) ⁿ ,

bo wystarczy zastosować wzór z poprzedniego przykładu dla a = yⁿ i q = x/y :
W ( [ x ^k · y ^n–k ]_kn ) = W ( [ yⁿ · (x/y)^k ]_kn )   =  yⁿ · ( (1 + x/y)/2 ) ⁿ   =  ( (x + y)/2 ) ⁿ .

Nietrudno sprawdzić, że:
 
   W ( [ a ₀ , a ₁ ] )   =   ( a ₀ + a ₁ ) / 2,
 
   W ( [ a ₀ , a ₁ , a ₂ ] )   =   ( a ₀ + 2 a ₁ + a ₂ ) / 4,
 
   W ( [ a ₀ , a ₁ , a ₂ , a ₃ ] )   =   ( a ₀ + 3 a ₁ + 3 a ₂ + a ₃ ) / 2³,
 
   W ( [ a ₀ , a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ] )   =   ( a ₀ + 4 a ₁ + 6 a ₂ + 4 a ₃ + a ₄ ) / 2⁴.
 
Zatem nietrudno (jeśli ktoś zna symbol Newtona) jest odgadnąć wzór ogólny:

TWIERDZENIE 2

Dowód nie jest trudny. Wystarczy sprecyzować poniższe zdanie:
  piramidę buduje się niemal tak samo, jak buduje się trójkąt Pascala.

UWAGA 1
Twierdzenie 2 i przykład 7 pokazują, że piramida jest pewną odmianą trójkąta Pascala.

UWAGA 2
Wielkość W ( [ a _k ]_kn )   jest w pewnym sensie wartością średnią listy liczb [ a _k ]_kn .
Mianowicie gdy w kasynie rzuca się n razy monetą i kasyno wypłaca a_k złotych za wyrzucenie k orłów, to kasyno średnio wypłaca W ( [ a _k ]_kn ) złotych w każdej takiej grze. Innymi słowy minimalna opłata za przystąpienie do takiej gry powinna wynosić właśnie W ( [ a _k ]_kn ) złotych, aby kasyno nie traciło na tej grze.

UWAGA 3
Operacja S oblicza średnie arytmetyczne kolejnych par liczb listy. Na osi liczbowej S (L) jest listą środków odcinków o końcach, będących kolejnymi parami listy L.

UWAGA 4
Gdy elementami L są punkty płaszczyzny zapisane w układzie współrzędnych, to S (L) ma sens. Można bowiem dodawać punkty, dodając ich (odpowiednie) współrzędne oraz dzielić przez 2 każdą współrzędną.
Na przykład   S ( [ < 2, 4 >, < 0, 8 >, < -2, -6 > ] ) = [ < 1, 6 >, < -1, 1 > ].
Jeśli myśleć o L jak o łamanej, to S (L) jest łamaną zbudowaną ze środków odcinków łamanej L.
Wiele z poprzednich obserwacji jest prawdziwych przy takiej interpretacji S i L, bowiem
gdy oznaczymy współrzędne punktów: A_k = < a'_k, a''_k >, to:
        S ( [ A _k ]_kn )   =   < S ( [ a' _k ]_kn ) ,   S ( [ a'' _k ]_kn ) > , oraz
        W ( [ A _k ]_kn )   =   < W ( [ a' _k ]_kn ) ,  W ( [ a'' _k ]_kn ) > .
Na poniższym dynamicznym rysunku można zobaczyć piramidę o podstawie będącej łamaną.

Podobne 'pajęczyny' można spotkać w innym miejscu Portalu, na przykład w artykule K-kładki.

UWAGA 5
Można pomyśleć o nowej operacji S_geom, analogicznej do S, która zastępuje kolejne pary liczb listy L ich średnimi geometrycznymi (zakładamy, że elementy L są dodatnie):

LOG PIR_geom [ a_k ]_kn   =   PIR_arytm LOG [ a_k ]_kn   =   PIR_arytm [ log a_k ]_kn .

ZADANIE 1.   Oblicz:

    a)  W ( [ k · (k–1) ]_kn )                     b)  W ( [ k · (k–1) · (k–2) ]_kn )

    c)  W ( [ k / n ]_kn )                d)  W ( [ k² / n² ]_kn )                e)  W ( [ k³ / n³ ]_kn )

ZADANIE 2.   Niech A = < 0, 8 >, B = < 0, 0 >, C = < 4, 0 >.

a)  Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach W ([ A, B, C ]), W ([ B, C, A ]), W ([ C, A, B ]).

b)  Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach W([A, B, C, A]), W([B, C, A, B]), W([C, A, B, C]).

ZADANIE 3.   Niech A, B, C, D oznaczają punkty płaszczyzny.

a)  Czy trójkąt S ([ A, B, C, A ]) jest podobny do trójkąta ABC?

b)  Czy trójkąt o wierzchołkach: W ([ A, B, C ]), W ([ B, C, A ]), W ([ C, A, B ])
     jest podobny do trójkąta S ([ A, B, C, A ])?

c)  Czy czworokąt S ([ A, B, C, D, A ]) jest podobny do czworokąta ABCD?

d)  Czy czworokąt o wierzchołkach:
          W ([ A, B, C, D ]),  W ([ B, C, D, A ]),  W ([ C, D, A, B ]),  W ([ D, A, B, C ])
     jest podobny do czworokąta S ([ A, B, C, D, A ])?

ZADANIE 4.   Znajdź dla W_geom odpowiedniki twierdzeń:

      a)  Tw. 1 (B)            b)  Tw. 1 (D)            c)  Tw. 1 (E)            d)  Tw. 2

ZADANIE 5.   Określ wzorem S_harm. Znajdź dla W_harm odpowiedniki twierdzeń 1 i 2.

ZADANIE 6.   Czy dla liczb dodatnich a_k, k = 0,1,2,...,n, zachodzą nierówności:

W_harm ( [ a _k ]_kn )     W_geom ( [ a _k ]_kn )     W_arytm ( [ a _k ]_kn )?