Trzy Korony (1)

W artykule Trzy Korony (0) badaliśmy matematyczne własności szczytu Sześć Koron umieszczonego w graniastosłupie sześciokątnym. Tym razem rzecz dzieje się w sześcianie ABCDA'B'C'D' o krawędzi a = 12.
Będziemy rozważać różne bryły, będące złączeniem kilku ostrosłupów o podstawie ABCD. Takie figury nazwiemy koronami. Koroną jest na przykład wielościan

W = ABCDO' ABCDB' .

Nietrudno obliczyć objętości i pola powierzchni każdego z tych ostrosłupów z osobna.
    obj(ABCDO') = obj(ABCDB') = a^{2 .} a/3 = a³/3,
 
    pole(ABCDO') = a² + 4 ^. 1/2 ^. a^. /2 a = (1 + )a²,
 
    pole(ABCDB') = a² + 2 ^. 1/2 ^. a² + 2 ^. 1/2 ^. a ^. a = (2 + )a².
A jak obliczyć objętość i pole powierzchni całej korony W?

Trzeba najpierw zrozumieć W. A dokładniej: zrozumieć, jak W wygląda w pobliżu 'przełęczy' S między wierzchołkami.

Podstawowa obserwacja
W prostokącie (lub równoległoboku) jak na rysunku,
punkt S dzieli kolorowe odcinki w stosunku 2:1.
Wynika to z podobieństwa odpowiednich trójkątów.

Zatem punkt S leży na przecięciu odcinków BO' i DB' i dzieli je w stosunku 2:1.

Stąd mamy:
- pole O'SA jest 1/3 pola O'BA ,
- pole B'SA jest 1/3 pola B'DA ,
- w ostrosłupie ABB'S wysokość opuszczona z S jest 1/3 a.
Dalej już łatwo można obliczyć pole i objętość korony W.  

pole(W) = a² + 2 ^. 1/2 a² + 2 ^. pole(ADO') + 2 ^. pole(ASO') + 2 ^. pole(ASB') =
= 2a² + /2 a² + 2 ^. 1/3 ^. pole(ABO') + 2 ^. 1/3 ^. pole(ADB') =
= 2a² + /2 a² + 2 ^. 1/3 ^. /4 a² + 2 ^. 1/3 ^. /2 a² =
= ( 2 + /2 +/6 + /3 ) a².
 
obj(W) = obj(ABCDO') + 2 ^. obj(ABB'S) = ... = 4/9 a³.

W poniższych zadaniach niektóre przykłady są łatwiejsze, a inne trudniejsze. Które są które?
Do rozwiązania tych trudniejszych powinna wystarczyć modyfikacja "Podstawowej obserwacji". Spróbuj.

Pamiętaj, że dobry rysunek jest podstawą sukcesu. Spróbuj wykonać je samodzielnie. W podpowiedziach można zobaczyć jedynie krawędzie ostrosłupów. Krawędzie korony W trzeba sobie wyobrazić.

Zadanie 1.     Oblicz objętość i pole powierzchni korony W.

          a)       W = ABCDB' ABCDC'

          b)       W = ABCDB' ABCDD'

Podpowiedzi:

          c)       W = ABCDB' ABCDC' ABCDO'

          d)       W = ABCDB' ABCDD' ABCDO'

Podpowiedzi:

          e)       W = ABCDB' ABCDC' ABCDD'

          f)       W = ABCDA' ABCDB' ABCDC' ABCDD'

Podpowiedzi:

          g)       W = ABCDA' ABCDB' ABCDC' ABCDD' ABCDO'

          h)       W = ABCDA' ABCDB' ABCDC' ABCDD' ABCDO'
                          ABCDK' ABCDL' ABCDM' ABCDN' ,
                          gdzie K', L', M', N' są środkami odcinków A'B', B'C', C'D', D'A'.

Podpowiedzi:

Zadanie 2.    Oblicz objętość i pole powierzchni korony W będącej złączeniem wszystkich ostrosłupów postaci ABCDX.

    a)    X leży na odcinku B'C'                                     b)    X leży na odcinku BC'

Podpowiedzi:

    c)    X leży na odcinku B'D'                                     d)    X leży na odcinku B'O'

Podpowiedzi:

    e)    X leży na odcinku B'D' lub A'C'                           f)    X leży na łamanej A'B'C'D'A'

Podpowiedzi:

Na dalszy ciąg badania Trzech Koron zapraszamy tutaj.