|
Do rysunków 3D użyto apletu
www.javaview.de/
Można w nich manipulować myszą. |
Każda z poniższych powierzchni:
- mieści się w cylindrze o promieniu podstawy 1 i wysokości 1,
- jest zbudowana z patyków-odcinków długości 1,
- środki tych patyków tworzą okrąg równoległy do podstaw cylindra o średnicy 1 i o środku w połowie osi cylindra.
Patrząc z góry, widzimy, że nad każdą 'szprychą' w podstawie cylindra jest dokładnie jeden patyk.
Przepis na taką powierzchnię jest następujący:
'szprychę' w podstawie, która tworzy z osią OX kąt x . 360o,
obracamy względem środka szprychy o kąt f(x) . 360o
w płaszczyźnie wyznaczonej przez środek szprychy i oś cylindra
(obrót dodatni to taki, w którym koniec szprychy przy brzegu podstawy najpierw unosi się),
na koniec podnosimy obróconą szprychę do góry o 0,5.
Takie powierzchnie nazwiemy f-ślimakami.
Nazwę tłumaczy poniższy rysunek. Podobnie wyglądają f-ślimaki dla innych funkcji liniowych.
Kształty dobrze znane z lekcji geometrii dostajemy dla funkcji stałych.
Opisz kształt i oblicz wymiary f-ślimaka, gdy
a) f (x) = 0 dla każdego x,
b) f (x) = 1/4 dla każdego x,
c) f (x) = 1/8 dla każdego x,
d) f (x) = 1/12 dla każdego x.
Dla f (x) = x/2 otrzymamy f-ślimak zwany wstęgą Mobiusa. Jest to przykład powierzchni nieorientowalnej.
Ogólniej, gdy 2|f(0) - f(1)| jest liczbą nieparzystą (i f jest ciągła), to f-ślimak jest przykładem powierzchni nieorientowalnej.
Porównaj f-ślimaki gdy:
a') f (x) = [4x]/4 a'') f (x) = x - [4x]/4 a''') f (x) = [4x]/8
b') f (x) = sin(
x) / 4
b'') f (x) = sin2 (x) / 4
b''') f (x) = cos(x) / 4
c') f (x) = sin(2x) / 4
c'') f (x) = |sin(2x)| / 4
c''') f (x) = sin2 (2x) / 4
d') f (x) = sin(3x) / 4
d'') f (x) = |sin(3x)| / 4
d''') f (x) = sin2 (3x) / 4
e') f (x) = sin(4x) / 4
e'') f (x) = sin2 (4x) / 4
f') f (x) = sin(12x) / 4
f'') f (x) = sin2 (12x) / 4
