Przyjrzyjmy się zwykłym, płaskim szachownicom, na przykład: 8×8 lub 9×9. Takie szachownice nie są jednorodne, bo pola przy brzegu różnią się od pól z wnętrza.
Kwadrat ma brzeg, ale np. sfera (tzn. powierzchnia kuli) nie ma brzegu, więc może na niej uda się namalować jednorodną szachownicę.
Oczywiście nie, bo na sferze nie można narysować kwadratu. Sfera nie ma 'ani kawałka' płaskiego, nawet żadnego odcinka nie można na niej narysować. Zatem może nie na sferze, ale na powierzchni jakiejś innej bryły (np. jakiegoś wielościanu wypukłego) da się namalować jednorodną szachownicę?
Problem 1
Czy na powierzchni wielościanu wypukłego można namalować jednorodną szachownicę?
Może wystarczy oblepić szachownicami ściany sześcianu, albo innego wielościanu?
Może trzeba trochę powyginać pola szachownicy, ponaciągać je tak, żeby stały się trapezami lub dowolnymi czworokątami?
Przyjrzyj się poniższym szachownicom. Są prawie dobre, tzn. prawie jednorodne. Jedynie przy biegunach jest kłopot. Tam leżą pola, które różnią się od pozostałych.
Zobacz, że dla m = 2 szachownice wykazują jednak 'trochę' jednorodności. Mają bowiem następujące własności:
(J3) - każde pole ma 3 boki,
(Jbok) - każde pole styka się bokami tylko z polami przeciwnego koloru.
Dla m = 2 i n = 4 powyższa szachownica namalowana jest na ośmiościanie. Zobacz, że ma wtedy jeszcze jedną własność: 'wierzchołki są jednakowe'. Precyzyjnie powiemy, że:
(Jwierzch) - w każdym wierzchołku schodzi się jednakowa liczba pól.
Mamy już przykład pewnej jednorodnej szachownicy (i przy okazji wypracowaliśmy definicję jednorodności).
Powyższa szachownica na ośmiościanie spełnia trzy warunki
(J3), (Jbok) i (Jwierzch).
Natychmiast rodzi się pytanie, czy to jest jedyna jednorodna szachownica.
Ogólnie możemy postawić szereg problemów.
Problem i
Dla ustalonej liczby naturalnej i opisać wszystkie jednorodne szachownice, tzn. szachownice spełniające trzy warunki:
(Ji), (Jbok) i (Jwierzch), które można namalować na powierzchni jakiegoś wielościanu wypukłego.
Rozwiązanie jest dość proste, gdy skorzystamy ze wzoru Eulera dla wielościanów. Mówi on, że
w - k + s = 2 ,
gdzie w, k i s oznaczają odpowiednio liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu wypukłego.
Prawdziwe jest uogólnienie tego wzoru na szachownice namalowane na powierzchniach wielościanów wypukłych. Mianowicie
w - k + s = 2 ,
gdzie w, k i s oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków pól, liczbę boków pól i liczbę pól szachownicy.
Ćwiczenie 1
Dla wielościanów z poprzedniego rysunku podaj liczby w, k i s (w zależności od m i n) oraz sprawdź, że zachodzi dla nich wzór Eulera dla wielościanów.
Ćwiczenie 2
a) Dla poniższego wielościanu podaj liczby w, k i s oraz sprawdź, że zachodzi dla niego wzór Eulera dla wielościanów.
b) Wyobraź sobie bryłę, która powstaje w ten sposób, że na każdej czworokątnej ścianie poniższego wielościanu
stawiamy niską czworokątną piramidę. Dla takiej bryły podaj
liczby w, k i s oraz sprawdź, że zachodzi dla niej wzór Eulera dla wielościanów.
Możemy zauważyć wiele ciekawych faktów.
Spostrzeżenie 1
W dowolnej szachownicy (Jbok), w dowolnym wierzchołku schodzi się parzysta liczba pól.
Dowód
Idąc 'w koło' wierzchołka po sąsiadujących polach, widzimy pola białe, czarne, białe, czarne... Ostatnie musi być czarne, bo sąsiaduje z pierwszym - białym.
Spostrzeżenie 2
W dowolnej szachownicy na wielościanie wypukłym, spełniającej warunki (Ji) i (Jbok), liczba wierzchołków w jest nie większa od i . s / 4.
Dowód
Na każdym polu jest po i wierzchołków. Każdy z nich jest
wierzchołkiem co najmniej 4 pól.
Spostrzeżenie 3
W dowolnej szachownicy na wielościanie wypukłym, spełniającej warunki (Ji) i (Jbok), liczba boków pól k jest równa i . s / 2.
Dowód
Każde pole ma i boków. Każdy bok jest wspólny dla dokładnie dwóch pól.
Wniosek 1
Nie istnieje szachownica na wielościanie wypukłym, spełniająca warunki (J4) i (Jbok).
Dowód
Gdyby taka szachownica istniała, to byłoby w - k + s 
4s/4 - 4s/2 + s = 0, a przecież powinno być równe 2 (wzór Eulera).
Wniosek 2
Szachownica na wielościanie wypukłym, spełniająca warunki (J3), (Jbok) i (Jwierzch) ma 8 pól.
Dowód
Niech j oznacza liczbę pól schodzących się w jednym wierzchołku. Wtedy z równania:
Ponieważ j jest parzyste, może być jedną z liczb: 4, 6, 8... Wstawiając te wartości do wzoru, widzimy, że tylko dla j = 4 otrzymamy dodatnie s. Dla j = 4 mamy s = 8.
Warto spróbować samodzielnie udowodnić poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 1
Jest tylko jedna szachownica na wielościanie wypukłym, spełniająca warunki (Ji), (Jbok) (Jwierzch). Jest to szachownica powstała z zamalowania ścian ośmiościanu foremnego.
Na 'deser' zobaczmy, że na torusie (tzn. na powierzchni precla) można namalować wiele jednorodnych szachownic, to znaczy takich, które spełniają warunki (J4), (Jbok) i (Jwierzch) .
