Poniższy tekst wymaga zastanowienia, samodzielnej pracy, tworzenia własnych rysunków.
Warto wcześniej zrobić kilka zadań z artykułów:
Środki par zbiorów,
Środki zbiorów liczb.
Kluczowe, w poniższym tekście, jest pojęcie linii zamkniętej (jest nią na przykład: okrąg,
czy brzeg kwadratu). Nie precyzuję tu tego pojęcia, nie podaję definicji.
Przedstawiam rozumowania raczej w żargonie, a nie w formalnym języku matematyki.
Jedynie w Uwagach wskazuję potrzebę doprecyzowania tego pojęcia.
W początkach XX wieku znaleziono język, sposób sformalizowania rozumowań takich jak poniższe;
stworzono topologię. Po co? Przeczytaj, może znajdziesz częściowe wyjaśnienie.
Określenie.
Dla figury A niech SA oznacza
zbiór wszystkich środków odcinków o końcach w A.
Będziemy mówić: SA jest środkiem figury A.
Dla kwadratu A wszystkie punkty, z wyjątkiem wierzchołków, są środkami odcinków o końcach
w A, czyli SA = A \ wierzchołki.
Tak samo jest dla każdego trójkąta, równoległoboku, trapezu.
Ogólnie: tak jest dla wielokątów wypukłych.
Każdy punkt W z wnętrza koła A
jest punktem z Sbrzeg A, czyli jest środkiem pewnej cięciwy.
Mianowicie środek koła jest środkiem dowolnej średnicy, a gdy W nie jest środkiem koła,
to jest środkiem cięciwy przechodzącej przez W, prostopadłej do promienia przechodzącego przez W.
Nieco trudniej zobaczyć, że tak samo jest dla kwadratu.
Nie tylko dla kwadratu. Prawdziwe jest ogólne twierdzenie:
Twierdzenie 1.
Niech A będzie figurą wypukłą, której brzeg B jest linią zamkniętą.
Wtedy każdy punkt z wnętrza A jest środkiem pewnego odcinka o końcach w B.
Dowód nie jest trudny:
Niech W oznacza punkt z wnętrza A i F1 jakiś punkt z B.
Dowolnemu punktowi F z B odpowiada
punkt G
F,
będący przecięciem półprostej FW z B.
Gdy | F1W | = | WG1 |, to już nam się udało,
W jest środkiem odcinka o końcach w B.
Jeśli nie, to 'wędrujmy' punktem F po B,
od F1 do odpowiadającego mu G1 i
mierzmy różnicę
W tych miejscach W jest środkiem odcinka FG, odcinka o końcach w B.
Uwaga 1.
W powyższym twierdzeniu można wymazać założenie wypukłości A (o czym mówi Twierdzenie 2).
Jednak wtedy trzeba zrobić nowy dowód. Powyższy szwankuje.
W których miejscach? Gdzie w powyższym rozumowaniu wykorzystano wypukłość A?
Przed dalszym czytaniem powinieneś odpowiedzieć na te pytania.
Twierdzenie 2.
Niech A będzie figurą ograniczoną przez linię zamkniętą B.
Wtedy każdy punkt z wnętrza A jest środkiem pewnego odcinka o końcach w B.
Dowód też nie jest trudny:
Niech W oznacza punkt z wnętrza A
i niech k oznacza jakąś prostą przechodzącą przez W.
Na k, po różnych stronach
W, są takie punkty F1 i G1 z B, że
Jeśli nie, to niech P oznacza ten, który leży bliżej W.
Niech P' i B' oznaczają odbicie P i odbicie B względem W.
Oczywiście P' leży we wnętrzu A i w B'.
'Wędrując' punktem P' po całym B' musimy kiedyś przeciąć B (bo inaczej B' byłoby zawarte we wnętrzu A i ograniczałoby mniejszy obszar niż ogranicza B).
Punkt przecięcia B i B' wraz z odbiciem względem W, są końcami odcinka o końcach w B (dlaczego?), którego środkiem jest W (dlaczego?).
Uwaga 2. To jest również dowód Twierdzenia 1.
Uwaga 3. W przypadku, gdy na płaszczyźnie A jest obszarem pomiędzy dwoma współśrodkowymi okręgami, to w powyższym rozumowaniu 'zawodzi' stwierdzenie:
Uwaga 4. Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku,
gdy A jest obszarem pomiędzy dwoma równoległymi prostymi.
W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?
Uwaga 5. Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku,
gdy A jest obszarem kąta (na przykład prostego).
W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?
Uwaga 6. Warto zobaczyć co się dzieje (zawodzi?) w przypadku,
gdy na sferze A jest obszarem pomiędzy dwoma
równoleżnikami: 10 i -15 po różnych stronach równika.
(Na sferze rolę odcinków pełnią krótsze łuki okręgów leżących
w płaszczyznach przechodzących przez środek sfery.)
Uwaga 7. Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku, gdy A jest obszarem przedstawionym na poniższym rysunku. W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?
Ponownie rozpatrzmy przykład, gdy A jest kołem o środku O, B jest okręgiem go ograniczającym.
Gdy P oznacza jakiś punkt okręgu B, to SB \ {P}
SB ,
środki odcinków o końcach w punktach okręgu B różnych od punktu P, nie tworzą całego
wnętrza A. (Bowiem SB \ {P}
jest wnętrzem A z usuniętym pewnym okręgiem [jakim?]
i dodanym punktem [jakim?].)
Określenie 2.
Figurę G nazywamy generatorem figury A,
gdy punkty G są punktami A oraz każdy środek odcinka o końcach w A
jest jednoznacznie wyznaczony przez G.
Innymi słowy:
G jest podzbiorem A,
SG = SA oraz
Poprzednie rozważania o okręgu B ograniczającym koło A, pokazały, że
choć SB = SA,
to B nie jest generatorem A (dlaczego?).
Ponadto pokazały, że nie istnieje generator A złożony tylko z pewnych
punktów okręgu (dlaczego?).
Nasuwa się naturalne pytanie: jak wygląda figura, która jest generatorem koła?
Nie wiem jak wygląda, ale wiem, że jest taka figura, że istnieje. Prawdziwe jest
Twierdzenie 3.
Dla każdej z poniższych figur istnieje generator:
koło, wnętrze koła, wielokąt, wnętrze wielokąta (wypukłego lub nie),
wnętrze dowolnej figury.
Dowód (jaki znam) tego twierdzenia jest trudny i wymaga nieco wyższej matematyki.
Jednak idea dowodu jest dość jasna, jest taka jak dowód Twierdzenia 1. z
tekstu Środki zbiorów liczb
(porównaj z uwagami do zamieszczonego tam Twierdzenia 3).
Uwaga 8. Sformułowanie powyższego Twierdzenia 3. nasuwa pytanie:
Uwaga 9.
Powyższe rozważania nie wykluczają, że jest prosty dowód Twierdzenia 3.
Może któryś z Czytelników znajdzie takie rozumowanie?
Uwaga 10. A co się 'dzieje' w przestrzeni???
Dla tych, którzy nie mogą się obejść bez zadań, proponuję jedno, o idei dowodu Twierdzenia 2.
Zadanie 1. Wyznacz SB oraz figurę złożoną z wszystkich punktów jednoznacznie wyznaczonych przez B, gdy:
a) B jest brzegiem kwadratu, a') B jest brzegiem równoległoboku,
b) B jest brzegiem trójkąta równobocznego, b') B jest brzegiem trójkąta (dowolnego),
c) B jest brzegiem trapezu prostokątnego, d) B jest brzegiem sześciokąta foremnego,
e*) B jest brzegiem półkola, f*) B jest parabolą.
- ilustracja dowodu Twierdzenia 1 i 2 dla figur wypukłych,
- ilustracja dowodu Twierdzenia 2 dla wielokątów wklęsłych,
- ilustracja zbioru SB dla brzegów B wielokątów wklęsłych A.
Warto przeczytać inne teksty o podobnej tematyce:
- Środki par zbiorów
- Środki zbiorów liczb
- Odcinek figur
