Siła wektorów (i geometrii)

Data ostatniej modyfikacji:
2010-01-1
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria wektorowa
fizyka

 
 
W wielu podręcznikach rzut ukośny jest omawiany z użyciem trygonometrii i pochodnych. Okazuje się, że gdy 'zaufamy wektorom', nie trzeba aż tak zaawansowanej wiedzy z matematyki. Wystarczy znać twierdzenie Pitagorasa (i trochę fizyki!).

Problem 
Rzut ciała o masie m = 0,1 kg, z szybkością v0 = 30 m/s, pod kątem , z wysokości h = 35 m.
Dla jakiego zasięg jest największy?

Zacznijmy od tego, że nie wieje wiatr i pomijamy opory powietrza. Zatem na ciało działa jedynie STAŁA siła przyciągania skierowana pionowo w dół. Siła ta (jak mówi Newton) zmienia prędkość ciała. Zmiana prędkości w jednostce czasu to przyśpieszenie, precyzyjniej: różnica prędkości podzielona przez czas, to jest średnie przyśpieszenie (ważne, że tu chodzi o wektory!):

Ponieważ siła jest STAŁA, to przyśpieszenie jest STAŁE, skierowane w dół, równe g=10 m/s2. Równość ta jest pokazana na rysunku (zaczepiamy wektory prędkości w jednym punkcie).

Uwaga. Fizycy ten 'trójkąt' przeczytają tak (mnożąc boki przez m): popęd jest równy zmianie pędu.

Teraz najważniejsze: szybkość przy lądowaniu (wielkość ) jest stała, tj. nie zależy od kąta . Mianowicie energia na początku i na końcu lotu jest taka sama: E0 = Ek, czyli

skąd (po łatwym rachunku) otrzymamy

Zaznaczmy na rysunku okręgi o promieniach równych i , to na nich leżą końce pionowego odcinka, niezależnie od kąta .


 

 
Dorysujmy 'poziomą' wysokość tego trójkąta (prostopadłą do pionowego boku). Ma ona długość vp składowej poziomej wektora .
Pole tego trójkąta jest równe  

. vp . t g = (vp.t ) . (g) ,  
czyli jest równe
(zasięg) . (g)   .


 

 
Zatem

zasięg jest największy, gdy pole jest największe,
a pole jest największe, gdy boki są prostopadłe.


 

 
Z takiego trójkąta prostokątnego można niemal wszystko odczytać.

Mianowicie w locie o maksymalnym zasięgu:

-   kąt, pod którym ciało będzie wbijać się w ziemię, jest równy 90o - ,

-   zasięg jest równy polu trójkąta podzielonemu przez g, czyli

     podstawiając liczby:    

-   lot trwa (z tw. Pitagorasa wyznaczamy przeciwprostokątną, skąd znajdujemy czas t)

     podstawiając liczby:    

-   zasięg maksymalny otrzymamy przy rzucie pod kątem , którego tangens jest równy

     podstawiając liczby:         skąd 37o.



 

Uwaga. Tak rozwiązywane zadania można znaleźć w świetnej książce 'Matematyka w szkole średniej', tomy 1-3, WSiP, Warszawa 1988 (jest to polski przekład brytyjskiego podręcznika do matematyki wydanego przez Cambridge University Press).
 



 

Powrót na górę strony