się powtarza? Co się powtarza? Co...

Aby obliczyć rozwinięcie dziesiętne ułamka , wystarczy po prostu dzielić. Dostajemy 0,3648648... (można skorzystać z 'Maszynki do dzielenia' ).
Powtarza się okresowo 648, co notujemy, ujmując okres w nawias .

Licząc rozwinięcie dziesiętne ułamka , można mieć różne przemyślenia.
- 0,111; przy trzeciej jedynce: 'Tu musi być jakiś podstęp, to za łatwo, to nie mogą być chyba same jedynki.'
- 0,1111; przy czwartej jedynce napięcie wzrasta: 'A może jednak same jedynki?'
- 0,11112: 'No, wreszcie coś innego.'
- 0,111121: 'Zgaduję, że teraz będą jeszcze trzy jedynki.'
- 0,11112111: 'Na razie się zgadza.'
- 0,111121111: 'A nie mówiłem? Teraz będzie 2 i tak dalej, wkoło.'
- 0,1111211110: 'To już nic nie rozumiem.'
- 0,111121111011: 'Teraz będą pewnie jeszcze dwie jedynki.'
- 0,11112111101111: 'Czy teraz będzie 2 czy 0? Co zacznie się powtarzać?'
- 0,111121111011112: 'Zgaduję, że teraz będą cztery jedynki.'
- 0,1111211110111121111: 'Czy czeka mnie jeszcze jakaś niespodzianka? Czy to rozwinięcie jest naprawdę okresowe? Co zacznie się powtarzać?'
'???' Tu Karol przestał myśleć. Teraz zacznij Ty!

Cała trudność w zobaczeniu okresowości rozwinięć dziesiętnych ułamków polega na tym, że patrzymy... nie tam gdzie trzeba. Trzeba patrzeć nie na samo rozwinięcie, lecz na reszty, jakie otrzymujemy w trakcie rachunków. Popatrzmy na kilka przykładów. (Licz lub włącz 'maszynkę'.)

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

W pierwszych trzech przykładach reszty zaczęły się powtarzać. A w ostatnim - nie.

Zauważmy, że w ostatnim przykładzie - licząc dalej - musimy napotkać którąś z wcześniejszych reszt, bo możliwe reszty to liczby 0, 1, 2, ... , 1974, jest ich 1975, więc licząc 1776 razy (lub więcej) napewno natkniemy się na dwie takie same.

Co więcej, jeśli natrafimy po raz pierwszy na którąś z wcześniejszych reszt, to od tego miejsca reszty zaczną się powtarzać, bowiem następną resztę obliczamy (pisemnie) wg tego samego algorytmu: 'spisujemy' zero, dzielimy, obliczamy różnicę.

Zatem gdy przy rozwijaniu ułamka napotykamy po raz drugi 525 :

Zauważ, że tylko w przykładzie drugim , reszty

W tym przykładzie, odmiennie niż w pozostałych, z danej reszty można obliczyć wcześniejszą, dana reszta determinuje poprzednią.
Dla ilustracji rozważmy resztę 184. Powstała z dzielenia 157^.10 przez 231, czyli

       157.10 = 6.231 + 184

         r.10 = c.231 + 184

   (157-r).10 = (6-c).231

Tak samo jak w powyższym przykładzie dowodzi się ogólnego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Niech mianownik q ułamka (nieskracalnego) nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się bezpośrednio po przecinku i ma długość mniejszą niż q.

Trochę trudniej dowodzi się twierdzenia:

Twierdzenie 2. Niech mianownik q ułamka nieskracalnego będzie postaci q = 2^{k .} 5^{n .} s, gdzie s nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się od m = 1 + max(k,n) miejsca po przecinku i ma długość mniejszą niż s.

Ideę dowodu prześledzimy na przykładzie:
najpierw skracamy ułamek (przez 3)
(że jest on nieskracalny zobaczymy dalej)
teraz rozkładamy mianownik na czynniki

(teraz widać, że jest nieskracalny, bo 861 nie dzieli się przez 2,5,17)





'Prawy' czynnik powyższego iloczynu, to ułamek, który z tw. 1. ma rozwinięcie zaczynające się bezpośrednio po przecinku (i długości mniejszej niż 17).
Mnożenie przez , to przesuwanie przecinka o trzy miejsca, więc okres zaczyna się od czwartego miejsca po przecinku.

(tylko dla dorosłych)
Tak na prawdę z powyższego rozumowania widać tylko, że okres zaczyna się nie dalej niż od 4 miejsca. Dlaczego?