Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Kwadrat w trójkącie zazwyczaj spotykamy w położeniu takim, jak na poniższym rysunku. Jego jeden bok jest zawarty w jednym boku trójkąta, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na pozostałych dwóch bokach trójkąta.
Można łatwo wyznaczyć długość x boku takiego kwadratu leżącego w trójkącie równobocznym o boku a.
Wskazówka 1. Wystarczy zapisać podobieństwo trójkątów ABC i LMC.
Wskazówka 2. Niech h oznacza wysokość trójkąta ABC opuszczoną z C.
Jaka jest wysokość trójkąta LMC opuszczona z C?
Odpowiedź.
x = ah / (a+h) = ...
= a(2 - 3) .
Trudniejszym zadaniem jest wyznaczenie tak położonego kwadratu. Podaj konstrukcję kwadratu leżącego w trójkącie w opisany wyżej sposób.
Odpowiedź.
Przedstawimy nietypową konstrukcję.
Uczniowie mogą jednak zadać
Kłopotliwe pytanie 1. Czy kwadrat leżący w ten sposób w trójkącie równobocznym jest największym z kwadratów w nim zawartych?
Odpowiedź?
Poniższe rozumowanie pokazuje, że jeśli prostokąt KLMN leży w (dowolnym) trójkącie ABC tak, że żaden z boków nie zawiera się w obwodzie trójkąta, to ten prostokąt nie jest największym z możliwych.
Można prostokąt KLMN nieco obrócić wokół punktu S
(będącego przecięciem prostopadłych do boków w punktach K i L). Po takim małym obrocie w odpowiednią stronę (w którą? od czego to zależy?) wszystkie wierzchołki leżą we wnętrzu trójkąta.
Zatem ten obrócony prostokąt K'L'M'N' można jeszcze nieco powiększyć w obrębie trójkąta.
Powyższe rozumowanie dawałoby kompletne uzasadnienie pozytywnej odpowiedzi na kłopotliwe pytanie 1, gdybyśmy wiedzieli, że
wśród kwadratów zawartych w danym trójkącie
istnieje kwadrat o największym boku.
Pojęcie zwartości poznawane na studiach matematycznych daje krótką argumentację. Ale jak to opowiedzieć w szkole?
Trudna sprawa, kłopotliwe pytanie.
(Nie roztrząsam tutaj tego problemu. Gdy uczeń tak zapyta, odpowiem mu... na przerwie.)
Kłopotliwe pytanie 2. Czy w każdym trójkącie największy kwadrat w nim zawarty ma wszystkie wierzchołki leżące na obwodzie trójkąta?
Wskazówka
Nie.
Odpowiedź
Patrz.
Kłopotliwe pytanie 3. Czy kwadrat leżący w opisany wyżej sposób w trójkącie równobocznym ma największe pole spośród wszystkich prostokątów zawartych w tym trójkącie?
W lipcu w Mediolanie (Włochy) odbędą się Międzynarodowe Zawody w Grach Matematycznych i Logicznych. W reprezentacji Polski znaleźli się Wrocławianie: w kategorii CE - Adam Guzik (SP 36), Andrzej Pokorski, Sonia Izydorczyk, (SP 11), w CM - Franciszek Bekała (SP 28), w C1 - Agata Fudała (SP 53), Kacper Porosiński (SP Mirków), w L1 - Łukasz Ganczarek (III LO), w L2 - Cyprian Ziółkowski (student WMI UWr) oraz w HC - Tomasz Skalski (PWr).
Czym są kwaterniony (zwane też czwórkami Hamiltona)?
To struktura liczbowa będąca rozszerzeniem liczb zespolonych. Początkowo była uważana za twór patologiczny (bo mnożenie nie jest w tych liczbach przemienne) i służyła do opisywania mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej.
Bohater miesiąca
W 1843 roku William Rowan Hamilton (irlandzki matematyk i astronom) wyrył podczas spaceru z żoną na moście Broom Bridge w Dublinie wzór na mnożenie elementów algebry kwaternionów. To historyczne miejsce odwiedzą w lipcu wrocławscy nauczyciele.
Do października w galerii "Łącznik" na WMI UWr odbywa się wystawa fotografii duetu Mira Boczniowicz - Dariusz Gorski pt. "Antyczna matematyka". Ekspozycja zachęca do refleksji na temat kruchości ludzkiej istoty względem surowych prawideł będących dziedzictwem antycznej geometrii.
Wszystkich master chefów oraz pospolitych zjadaczy makaronów zachęcamy do komponowania z nich (i nie tylko) intrygujących rozet o gwiaździstej symetrii.
- 3) . 
