Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Kwadrat w trójkącie zazwyczaj spotykamy w położeniu takim, jak na poniższym rysunku. Jego jeden bok jest zawarty w jednym boku trójkąta, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na pozostałych dwóch bokach trójkąta.
Można łatwo wyznaczyć długość x boku takiego kwadratu leżącego w trójkącie równobocznym o boku a.
Wskazówka 1. Wystarczy zapisać podobieństwo trójkątów ABC i LMC.
Wskazówka 2. Niech h oznacza wysokość trójkąta ABC opuszczoną z C.
Jaka jest wysokość trójkąta LMC opuszczona z C?
Odpowiedź.
x = ah / (a+h) = ...
= a(2 - 3) .
Trudniejszym zadaniem jest wyznaczenie tak położonego kwadratu. Podaj konstrukcję kwadratu leżącego w trójkącie w opisany wyżej sposób.
Odpowiedź.
Przedstawimy nietypową konstrukcję.
Uczniowie mogą jednak zadać
Kłopotliwe pytanie 1. Czy kwadrat leżący w ten sposób w trójkącie równobocznym jest największym z kwadratów w nim zawartych?
Odpowiedź?
Poniższe rozumowanie pokazuje, że jeśli prostokąt KLMN leży w (dowolnym) trójkącie ABC tak, że żaden z boków nie zawiera się w obwodzie trójkąta, to ten prostokąt nie jest największym z możliwych.
Można prostokąt KLMN nieco obrócić wokół punktu S
(będącego przecięciem prostopadłych do boków w punktach K i L). Po takim małym obrocie w odpowiednią stronę (w którą? od czego to zależy?) wszystkie wierzchołki leżą we wnętrzu trójkąta.
Zatem ten obrócony prostokąt K'L'M'N' można jeszcze nieco powiększyć w obrębie trójkąta.
Powyższe rozumowanie dawałoby kompletne uzasadnienie pozytywnej odpowiedzi na kłopotliwe pytanie 1, gdybyśmy wiedzieli, że
wśród kwadratów zawartych w danym trójkącie
istnieje kwadrat o największym boku.
Pojęcie zwartości poznawane na studiach matematycznych daje krótką argumentację. Ale jak to opowiedzieć w szkole?
Trudna sprawa, kłopotliwe pytanie.
(Nie roztrząsam tutaj tego problemu. Gdy uczeń tak zapyta, odpowiem mu... na przerwie.)
Kłopotliwe pytanie 2. Czy w każdym trójkącie największy kwadrat w nim zawarty ma wszystkie wierzchołki leżące na obwodzie trójkąta?
Wskazówka
Nie.
Odpowiedź
Patrz.
Kłopotliwe pytanie 3. Czy kwadrat leżący w opisany wyżej sposób w trójkącie równobocznym ma największe pole spośród wszystkich prostokątów zawartych w tym trójkącie?
W lutym odbędzie się etap okręgowy LXVII Olimpiady Matematycznej. Na 49 zawodników w regionie dolnoślą-sko-opolskim 39 uczy się we W-wiu (18 osób w LO 3, 10 - w LO 14, 5 w ALO PWr, 3 - w LO 13 oraz po jednej w LO 7, LO 8 i LO Fund. Kr. Jadwigi).
Zaraz potem odbędzie się etap okrę-gowy XXXIII Olimpiady Informatycz-nej. Na 90 zawodników w regionie dolnośląsko-opolskim 82 uczy się we W-wiu (44 osoby w LO 14, 26 - w LO 3, po 3 w ALO PWr i EZN, 2 - w SP 3 oraz po jednej w LO 6, ASSie, SP 8 i SP 76).
W II połowie stycznia nastąpił silny rozbłysk na Słońcu z wyrzutem masy skierowanym ku Ziemi. W trakcie umacniania się bezchmurnej aury nad Polską, w mroźnym wyżu i bezksię-życowych warunkach obserwacyjnych, przez kolejne noce można było obserwować tuż pod Wrocławiem bajeczne światła zorzy polarnej.
Ołowianą kulę przetopiono na krążek, który jest walcem o promieniu podstawy równym promieniowi kuli. Czy wskutek tego pole powierzchni bryły wzrosło czy zmalało?
- 3) . 
