Kule w narożach

Przedstawiamy zadania o kulach umieszczonych w narożach czworościanu foremnego, sześcianu i ośmiościanu foremnego. W przypadku czworościanu pokazujemy niemal pełne rozwiązania. Mamy nadzieję, że dzięki temu Czytelnik nabierze doświadczenia i samodzielne rozwiąże pozostałe zadania.

Na początek zauważmy, że w czworościanie foremnym ABCD, o krawędziach długości a, środek O ma każdą z poniższych własności:
  -  jest punktem przecięcia wysokości czworościanu,
  -  leży w jednakowej odległości od wierzchołków czworościanu (jest środkiem kuli opisanej),
  -  leży w jednakowej odległości od ścian czworościanu (jest środkiem kuli wpisanej),
  -  leży w jednakowej odległości od krawędzi czworościanu (jest środkiem kuli stycznej do wszystkich krawędzi),
  -  leży na każdej środkowej (na odcinkach łączących wierzchołki i środki przeciwległych ścian), jest środkiem ciężkości.

Nie jest trudno wyznaczyć wysokość czworościanu i odległości O od wierzchołków:

Spodek wysokości O' leży w środku podstawy (z symetrii), zatem z tw. Pitagorasa:
   DO' ² = AD ² - AO' ² = a ² - ( 2/3 ^. a/2 ) ²,
skąd
   wysokość DO'  =  a ^. /3 .
 
Trójkąt AOD jest równoramienny, więc gdy E jest środkiem AD, to kąt OED jest prosty.
Zatem trójkąty AO'D i OED są podobne.
Stąd
    OD  =  ED ^. AD / DO' ,
czyli
    OD  =  a/2 ^. a / (a/3)  =  a ^. /4 .

Przejdźmy do zadań.

Zadanie 4.w)   W czworościanie foremnym ABCD o krawędzi AB = a = 2
cztery jednakowe kule siedzą w narożach. Każda zawiera wierzchołek naroża i jest styczna (zewnętrznie) do pozostałych trzech kul (jak na rysunku). Wyznacz ich promień r.

Zwiększając przezroczystość (lub używając [##]), zobaczysz trójkąt AOB z zaznaczonymi promieniami r (główny pomysł rozwiązania). Z podobieństwa trójkątów mamy:

r  =  a ^. (3 - ) / 2 .

Zadanie 4.k)     W czworościanie foremnym ABCD o krawędzi AB = a = 2,
cztery jednakowe kule siedzą w narożach. Każda jest styczna do krawędzi wychodzących z naroża i jest styczna (zewnętrznie) do pozostałych trzech kul (jak na rysunku). Wyznacz ich promień r.

Zwiększając przezroczystość (lub używając [##]), zobaczysz trójkąt AOB z zaznaczonymi promieniami r (główny pomysł rozwiązania). Najpierw wyznaczamy wysokość OO'' trójkąta AOB, a potem z podobieństwa trójkątów mamy równanie o niewiadomej r. Po łatwych obliczeniach dostajemy odpowiedź:

r  =  a ^. ( - 1) / 2 .

Zadanie 4.ś)     W czworościanie foremnym ABCD o krawędzi AB = a = 2
cztery jednakowe kule siedzą w narożach. Każda jest styczna do ścian schodzących się w narożu i jest styczna (zewnętrznie) do pozostałych trzech kul (jak na rysunku). Wyznacz ich promień r.

Zwiększając przezroczystość (lub używając [##]), zobaczysz trójkąty: AOB i AO'O z zaznaczonymi promieniami r. Wprowadzając pomocniczą wielkość (np. długość różowego odcinka) i stosując dwa razy podobieństwa trójkątów (np. tych widocznych w trójkątach AOB i AO'O), dostaniemy równania, z których nietrudno otrzymać odpowiedź:

r  =  a ^. ( - 1) / 10 .

Zadanie 4.kś)     W czworościanie foremnym ABCD, o krawędzi AB = a = 2,
cztery jednakowe kule siedzą w narożach. Każda jest styczna do krawędzi wychodzących z naroża i jest styczna (zewnętrznie) do kuli wpisanej w ten czworościan. Wyznacz ich promień r.

Odpowiedź:       r  =  a ^. ( / 4 - / 12 ) .

Zadanie 6.ś)     W sześcianie o krawędzi a
osiem jednakowych kul siedzi w narożach. Każda jest styczna do ścian schodzących się w narożu i jest styczna (zewnętrznie) do trzech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.

Odpowiedź:       r  =  . . .
Zamiast klikać, wystarczy chwilę pomyśleć. W tym zadaniu nie trzeba rachować.

Zadanie 6.k)     W sześcianie o krawędzi a
osiem jednakowych kul siedzi w narożach. Każda jest styczna do krawędzi wychodzących z naroża i jest styczna (zewnętrznie) do trzech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.

Zadanie 6.w)   W sześcianie o krawędzi a
osiem jednakowych kul siedzi w narożach. Każda zawiera wierzchołek naroża i jest styczna (zewnętrznie) do trzech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.

Zadanie 6.kś)     W sześcianie o krawędzi a
osiem jednakowych kul siedzi w narożach. Każda jest styczna do krawędzi wychodzących z naroża i jest styczna (zewnętrznie) do kuli wpisanej w sześcian. Wyznacz ich promień r.

Zadanie 8.k)     W ośmiościanie foremnym o krawędzi a
sześć jednakowych kul siedzi w narożach. Każda jest styczna do krawędzi wychodzących z naroża i jest styczna (zewnętrznie) do czterech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.

Zadanie 8.w)     W ośmiościanie foremnym o krawędzi a
sześć jednakowych kul siedzi w narożach. Każda zawiera wierzchołek naroża i jest styczna (zewnętrznie) do czterech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.

Zadanie 8.ś*)     W ośmiościanie foremnym o krawędzi a
sześć jednakowych kul siedzi w narożach. Każda jest styczna do ścian schodzących się w narożu i jest styczna (zewnętrznie) do czterech kul z sąsiednich naroży. Wyznacz ich promień r.