Na cyferblacie o promieniu R zaznaczamy n 'godzin', zaczynając numerację od zera.
Gdy wędrujemy po tarczy, zaczynając od 0, krokiem k i łączymy odcinkami co k-tą 'godzinę', dostajemy gwiazdę G (n, k).
Pobaw się tarcza zegara i zobacz, jak ciekawe gwiazdy można na niej otrzymać.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Niektóre z tych gwiazd są wielokątami foremnymi wypukłymi, a inne - wielokątami foremnymi gwiaździstymi.
Dalej przez gwiazdę będziemy rozumieć tylko łamaną, a nie obszar przez nią wyznaczony.
Ten obszar nazwiemy obszarem wyznaczonym przez obwiednię gwiazdy, którą zobaczysz, przesuwając w lewo suwaki: ['ozdobniki'] i [Z >].
(Poniższe zadania nie wymagają znajomości trygonometrii.)
G (8, 3)
Gwiazda G (8, 3) ma osiem boków tworzących łamaną 036147250.
(Punkty podpisujemy liczbami.)
W poniższych zadaniach wyznacz wskazane wielkości w zależności od R.
Na rysunku przesuwaj wolno suwaki - zobaczysz podpowiedzi do tych zadań. Ale podpowiedzi mogą być mylące, jeśli masz inny pomysł rozwiązania.
Zbadaj najpierw kąty, by dostrzec trójkąty podobne.
Zadanie 1. Wyznacz długość boku a gwiazdy G (8, 3) (np. długość odcinka 03).
Wskazówka 1.1. Najpierw wyznacz długość odcinka 01.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Zadanie 2. Wyznacz promień r koła wpisanego w gwiazdę G (8, 3), tzn. koła stycznego do każdego boku.
Przesuń w lewo suwaki: ['ozdobniki'] i [Z >]. Zobaczysz łamaną będącą obwiednią tej gwiazdy. Jest to łamana, która ma 16 wierzchołków: osiem ponumerowanych 0, 1, ..., 7 i osiem 'wgięć' bez nazw.
Zadanie 3. Wyznacz promień R' 'okręgu wgięć' gwiazdy G (8, 3).
Zadanie 4. Wyznacz pole P wielokąta wyznaczonego przez obwiednię gwiazdy G (8, 3).
Wokół środka S widać mały wielokąt foremny (wypukły). Nazwijmy go wielokątem wewnętrznym.
Zadanie 5. Wyznacz bok aw wielokąta wewnętrznego gwiazdy G (8, 3).
Wskazówka 5.1. Wyznacz promień Rw okręgu opisanego na wielokącie wewnętrznym.
G (8, k)
Odczytaj z rysunku własności pozostałych gwiazd dla n = 8. Wyniki zapisz w poniższej tabeli.
(Jeśli wygląd G (8, 4) cię przeraża, pomiń ten przypadek.)
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
G (8, k)
| k | a | r | R' | P | aw | Rw |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 | ||||||
| 7 |
G (12, k)
Wśród gwiazd G (12, k) najciekawszą jest G (12, 5).
Zadanie 6. Dla G (12, 5) wyznacz:
–
bok a,
–
promień r okręgu wpisanego,
–
promień okręgu wgięć R',
–
pole P ograniczone obwiednią,
–
bok aw wielokąta wewnętrznego,
–
promień Rw okręgu opisanego na wielokącie wewnętrznym.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Zadanie 7. Wyznacz wielkości z zadania 6 dla gwiazd G (12, k).
G (12, k)
| k | a | r | R' | P | aw | Rw |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 | ||||||
| 7 | ||||||
| 8 | ||||||
| 9 | ||||||
| 10 | ||||||
| 11 |
G (24, 11)
Zadanie 8*. Dla G (24, 11) wyznacz:
–
bok a,
–
promień r okręgu wpisanego,
–
promień okręgu wgięć R',
–
pole P ograniczone obwiednią,
–
bok aw wielokąta wewnętrznego,
–
promień Rw okręgu opisanego na wielokącie wewnętrznym.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Powyższe zadania (choć dość trudne) nie wyjaśniają na czym polega 'tajemnica' zegarowych gwiazd. Bowiem ich 'tajemniczość' ukryta jest w arytmetyce, o czym piszemy w tekście Gwiazdy zegarowe – arytmetycznie.
