Nieziemskie przyciąganie - zadania

Nieziemskie przyciąganie (przeskalowanie) jest kolejnym przykładem omyłkowego przeksztalcenia (porównaj z Omyłkowe przekształcenia - orsymetria lub Omyłkowe przekształcenia - emsymetria). Poznaj podstawowe własności tego przekształcenia i rozwiąż kilka ciekawych zadań.

Dla figury (domkniętej) wypukłej c, punktu Z i liczby s >0 określamy:
    Z_c = punkt z c leżący najbliżej Z,
    Z' = punkt z półprostej Z_cZ taki, że Z_cZ' = s ^. Z_cZ .
Ponadto, dla figury u symbol u' = P_c^s ( u ) oznacza figurę utworzoną z punktów Z', dla Z z u.
Można myśleć, że figura c jest magnesem, który przyciąga do siebie lub odpycha od siebie (dla s>1) punkty w zadanej skali s, podobnie jak jednokładność przyciąga lub odpycha punkty do/od magnesu c będącego punktem.

Poniżej widać efekt przekształcenia P_c^s dla różnych wielokątów (można zmieniać wierzchołki i położenia całych figur). Kluczem do zrozumienia tego przekształcenia jest zbadanie, co jest obrazem odcinka w tym przekształceniu, w których miejscach obraz odcinka 'załamuje się'.

 

Rysunek dynamiczny utworzony w GeoGebrze.

Dla s = 1/2 punkt Z' jest środkiem odcinka łączącego Z z najbliższym punktem z c,
a u' = P_c^1/2 ( u ) jest zbiorem wszystkich tych środków dla Z z u.

 

---

 

Poniższe zadania są pochodzą z konkursu KoMa 2014.
Trudniejsze zadania to: 4.c, 7.c, 8 i 9.

 

1.   Narysuj u' = P_c^1/2 ( u ) i v' = P_c^1/2 ( v )   (efekt przeskalowania u i v względem c w skali 1/2).

          a) Ile boków ma u' ? . . .                       b) Ile boków ma v' ? . . .

  2. a)   u' = P_c^1/2 ( u )
 
              Ile boków ma u' ? . . .
 
              pole u' = . . .

  2. b)   v' = P_c^1/2 ( v )
 
              Ile boków ma v' ? . . .
 
              pole v' = . . .

  2. c)   w' = P_c^1/2 ( w )
 
              Ile boków ma w' ? . . .
 
              pole w' = . . .

  3. a)   u' = P_c^1/2 ( u )
 
              Ile boków ma u' ? . . .
 
              pole u' = . . .

  3. b)   v' = P_c^1/2 ( v )
 
              Ile boków ma v' ? . . .
 
              pole v' = . . .

  3. c)   w' = P_c^1/2 ( w )
 
              Ile boków ma w' ? . . .
 
              pole w' = . . .

  4. a)   pole P_c^1/4 ( u ) = . . .
 
  4. b)   pole P_c^3/4 ( u ) = . . .
 
  4. c)   pole P_c^4/5 ( u ) = . . .

5.   Narysuj takie u i v, że u' = P_c^1/2 ( u ), v' = P_c^1/2 ( v ) są przedstawione na rysunku.

          a) Ile boków ma u' ? . . .                       b) Ile boków ma v' ? . . .
              pole u = . . .                                           pole v = . . .

6.   Narysuj takie u i v, że u' = P_c^1/2 ( u ), v' = P_c^1/2 ( v ) są przedstawione na rysunku.

          a) Ile boków ma u' ? . . .                       b) Ile boków ma v' ? . . .
              pole u = . . .                                           pole v = . . .

  7.    Znajdź taką wartość h > 0, że:
 
        a)   P_c^1/2 ( u ) ma pole 9
 
        b)   P_c^1/2 ( u ) ma pole 12
 
        c)   u ma pole 2 razy większe niż P_c^1/2 ( u )

  8.    Znajdź taką wartość s > 0, że:
 
        a)   P_c^s ( u ) jest trójkątem
 
        b)   jeden z kątów P_c^s ( u ) ma 90^o
 
        c)   P_c^s ( u ) ma pole 2.

 
  9.    Graniastosłup s ma wierzchołki o współrzędnych:

(2,0,0), (0,2,0), (0,-2,0), (2,0,1), (0,2,1), (0,-2,1), a prostopadłościan u : (4,-10,0), (6,-10,0), (6,10,0), (4,10,0), (4,-10,5), (6,-10,5), (6,10,5), (4,10,5). Podaj liczby opisujące u' = P_c^1/2 ( u ) :
 
  a)  liczba wierzchołków u' = . . . .     b)  liczba krawędzi u' = . . . .     c)  liczba ścian u' = . . . .
 
  d)  objętość u' = . . . .     e)  pole powierzchni u' = . . . .     e)  suma długości krawędzi u' = . . . .

 

---

 

Szerzej o tym przekształceniu piszemy w tekście Nieziemskie przyciąganie, który podsumowuje obserwacje z powyższych zadań.

 

---

---