Zadania 51-60

Można wybrać 100 punktów leżących na półokręgu (bez końców).
Wydaje mi się, że to jedyna możliwość. Jeśli Autor zna inną i się podzieli, będę wdzięczny.
Redakcję z kolei proszę o zmianę systemu CAPTCHA - za każdym razem mam z nim problem.

Autor właśnie to rozwiązanie miał na myśli.

Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 10 000 złożonych z różnych cyfr?

Liczb pierwszych co najwyżej czterocyfrowych o różnych cyfrach jest 638 (zaczynając od 2, a kończąc na 9871), w tym 4 jednocyfrowe, 20 dwucyfrowych, 97 trzycyfrowych i 517 czterocyfrowych. W rozwiązaniu skorzystałam z listy liczb pierwszych znajdującej się tutaj: http://liczby_pierwsze.republika.pl Potem wystarczyło(!) ją wyczyścić z niepotrzebnych elementów (30 minut pracy), a że liczby są ładnie stablicowane, obliczenie, ile ich zostało, było kwestią sekund.

Wiem, że edytory tekstu obrabiają "wyrażenia regularne" i to samo można było zrobić automatycznie, ale nauczenie się tego narzędzia zajęłoby mi na pewno więcej niż 30 minut (to na wypadek, gdyby jakiś dowcipniś próbował zadać to samo pytanie dla liczb mniejszych od miliona).  

To wcale nie był dowcip. Da się to szybciej rozwiązać w arkuszu kalkulacyjnym lub osobnym programem. Mój wynik dla liczb czterocyfrowych jest inny, ale zbliżony. To chyba nie ma znaczenia, ze względu na sposób, jakiego użyłaś.

No to mamy ciekawą sytuację. Adam, używając programu komputerowego, który napisał, otrzymał początkowo wynik 617. Po opublikowaniu wyniku Karoli poprawił błąd w programie i twierdzi, że szukanych liczb jest 631 (czyli poprawił własny wynik o 14). Karola, licząc ręcznie, początkowo podała wynik 643, który po wpisie Adama poprawiła na 638 (czyli poprawiła swój wynik o 5). Rzeczywiście dla niedużego zakresu pomysł z ręcznym przeglądaniem jest szybszy i skuteczniejszy, ale dla większego zakresu program komputerowy będzie nieodzowny. A może ktoś potwierdzi inną metodą poprawność wyniku Adama lub Karoli? Albo poda jeszcze inną odpowiedź?

Obliczyłem w arkuszu kalkulacyjnym swoją metodą. Wyszło mi też 631.

Potwierdzam wynik 631 (4+20+97+510).

Moment, kiedy na każdym z trzech punktów obserwacyjnych dał się słyszeć huk wystrzału nieprzyjacielskiego działa został dokładnie ustalony. Jak znaleźć położenie tego działa na mapie sztabowej?

Dane są czasy rejestracji huku, a więc i różnice między nimi. Do znalezienia położenia działa na mapie można skorzystać z takiej metody:
a) z różnicy czasów usłyszenia huku, znając prędkość dźwięku w powietrzu, wyznaczyć dodatnie różnice odległości punktów obserwacyjnych od działa w stosunku do punktu najbliższego,
b) przeliczyć te różnice na odległości na mapie,
c) skonstruować na mapie dwa okręgi o środkach w punktach bardziej oddalonych od działa i promieniach będących odpowiednimi różnicami odległości,
d) skonstruować okrąg styczny do tych dwóch okręgów i przechodzący przez punkt obserwacyjny położony najbliżej działa,
e) wyznaczyć środek tego okręgu. Będzie on lokalizacją działa na mapie.
Powyższa metoda działa, gdy punkty obserwacyjne nie są współliniowe (w takim przypadku są dwa możliwe położenia działa).

Wydaje mi się, że rozwiązanie Adama nie może być uznane za kompletne, dopóki nie poda się konstrukcji okręgu stycznego (zewnętrznie(!), bo jest też okrąg styczny wewnętrznie) do dwóch danych okręgów przechodzącego przez zadany punkt. Trzeba też uzasadnić, że taki okrąg zawsze istnieje i jest (poza przypadkiem punktów współliniowych) tylko jeden. Z rozwiązania Adama nie wynika też, jak znaleźć położenie działa dla współliniowych punktów obserwacyjnych (rozumiem, że po znalezieniu jednego takiego punktu, drugi położony będzie symetrycznie względem prostej, na której leżą te punkty).