Przed maturą (3)

1) Czy nierówność x ²³ < x ²⁰⁰³ jest prawdziwa dla

1a) x = -2?

1b) x = -1/2?

1c) x = 1/2?

1d) x = 2?

2) Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty?

2a) x ⁴ + 44x ² + 666

2b) x ⁷ + 77x ⁴ + 123x ³ + 5555

2c) x ¹⁰ + 28x ⁶ + 888x ⁴ - 1

2d) x ¹⁴ - x⁷ + 1

3) Czy istnieją takie liczby niewymierne a, b, że

3a) liczby a + b i a - b są wymierne?

3b) liczby a + b i ab są wymierne?

3c) liczby a + 2b i 3a + 6b są wymierne?

3d) liczby a + 3b i 2a + 4b są wymierne?

4) Czy liczba n! jest podzielna przez n ³ dla

4a) n = 8?

4b) n = 15?

4c) n = 22?

4d) n = 25?

5) Dla dowolnej liczby całkowitej k niepodzielnej przez n, liczba 6k nie jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

5a) n = 24?

5b) n = 25?

5c) n = 26?

5d) n = 27?

6) Czy część wspólna sfery i płaszczyzny może być

6a) okręgiem?

6b) elipsą nie będącą okręgiem?

6c) zbiorem jednopunktowym?

6d) zbiorem dwupunktowym?

7) Czy liczba podzbiorów 3-elementowych zbioru n-elementowego jest parzysta dla

7a) n = 1000?

7b)> n = 1001?

7c) n = 1002?

7d) n = 1003?

8) Dane są takie liczby całkowite n₁, n₂, n₃, ... , n₁₀₀, że
n₁ + n₂ + n₃ + ... + n₁₀₀ = 100001.
Czy stąd wynika, że co najmniej jedna z liczb n₁, n₂, n₃, ... , n₁₀₀ jest

8a) parzysta?

8b) nieparzysta?

8c)> podzielna przez 3?

8d) niepodzielna przez 3?

9) Niech a, b, c oznaczają boki trójkąta, a P jego pole. Czy dla każdego trójkąta prawdziwa jest nierówność

9a) P $\le$ a + b + c?

9b) P $\ge$ a + b + c?

9c) P $\ge$ abc?

9d) P $\le$ abc?

10) Czy dla dowolnego rosnącego ciągu arytmetycznego a₁, a₂, ..., a₁₀ o wyrazach dodatnich, zachodzi nierówność

10a)> a₁₀ $\le$ 10a₁?

10b) a₉ $\le$ 9a₂?

10c) a₂ + a₇ $\ge$ a₄ + a₅?

10d) a₂ + a₈ $\le$ a₄ + a₇?

11) Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Bok podstawy ma długość a, natomiast krawędź boczna ma długość b. Czy długość głównej przekątnej prostopadłościanu (tzn. przekątnej nie będącej przekątną ściany) jest równa a + b, jeżeli

11a) a = 2222, b = 1111?

11b) a = 1161, b = 3483?

11c) a = 3399, b = 1133?

11d) a = 1172, b = 2344?

12) Dany jest sześcian S. Rozważamy wszystkie trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami sześcianu S. Czy wśród tych trójkątów jest co najmniej jeden trójkąt

12a) ostrokątny?

12b) prostokątny?

12c) rozwartokątny?

12d) równoboczny?

13) Niech a = 20^o. Czy stąd wynika, że

13a) sin 2a < sin 7a?

13b) sin 3a < cos 8a?

13c) cos 2a < sin 6a?

13d) cos 4a < cos 5a?

14) Czy $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt k-\sqrt \ell\right)^n=0$ dla

14a) k = 6, $\ell$ = 2?

14b) k = 8, $\ell$ = 17?

14c) k = 17, $\ell$ = 24?

14d) k = 24, $\ell$ = 17?

15) Czy wśród podanych figur istnieją figury o dowolnie dużym polu?

15a) trójkąty o obwodzie 3

15b) czworokąty wpisane w okrąg o promieniu 4

15c) pięciokąty opisane na okręgu o promieniu 5

15d) sześciokąty wypukłe, których co najmniej 4 boki mają długość 6

16) Niech R_a będzie liczbą rozwiązań równania |x-1| + |x+1| = a w liczbach rzeczywistych x. Czy stąd wynika, że

16a) R₁ < 1?

16b) R₂ > 2?

16c) R₃ < 3?

16d) R₄ > 4?

17) Trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg o promieniu 2. Czy stąd wynika, że

17a) co najmniej jeden bok trójkąta ma długość wymierną?

17b) co najmniej jeden bok trójkąta ma długość niewymierną?

17c) co najmniej jeden bok trójkąta ma długość większą od 3?

17d) co najmniej jeden bok trójkąta ma długość mniejszą od 3?

18) Niech $f(x)=x^4+{x^3\over 6}+{27x\over8}+10$. Czy stąd wynika, że

18a) $f''(-1)\le 10$?

18b) $f''(0)\le 0$?

18c) $f''(1)\le 20$?

18d) $f''(2)\le 40$?

19) Czy równość log_a c + log_b c = log_a c ^. log_b c jest prawdziwa dla

19a) a = 2, b = 3, c = 6?

19b) a = 2, b = 5, c = 10?

19c) a = 3, b = 5, c = 8?

19d) a = 3, b = 4, c = 12?

20) Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z prawdziwa jest nierówność

20a) y + z $\le$ |x + y + z| - x ?

20b) x $\le$ |x + y + z| - y - z ?

20c) x + y $\le$ |x + y + z| + z?

20d) z $\le$ |x + y + z| + x + y ?

21) Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie m, n, że liczba m ² + n ² przy dzieleniu przez 8 daje resztę

21a) 2?

21b) 5?

21c) 6?

21d) 7?

22) W pewnym kraju 50% mieszkańców to kobiety, 60% mieszkańców ma komputer, 80% mieszkańców nie lubi szpinaku. Czy stąd wynika, że

22a) więcej niż połowa kobiet nie lubi szpinaku?

22b) więcej niż połowa posiadaczy komputera to kobiety?

22c) mniej niż połowa mieszkańców lubiących szpinak ma komputer?

22d) mniej niż połowa osób nie posiadających komputera lubi szpinak?

23) Czy liczba $\left(\sqrt2+1\right)^n+\left(\sqrt2-1\right)^n$ jest wymierna dla

23a) n = 1000?

23b) n = 1001?

23c) n = 1002?

23d) n = 1003?

24) Rozważamy wszystkie wielościany wypukłe, których każda ściana jest trójkątem. Niech w, k, s oznaczają odpowiednio liczby wierzchołków, krawędzi i ścian takiego wielościanu. Czy stąd wynika, że

24a) 2k = 3s?

24b) 2k = 3w?

24c) w $\ge$ s?

24d) s $\ge$ w?

25) Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych?

25a) 6478436

25b) 2548573

25c) 3654722

25d) 4928354

26) Dany jest taki ciąg $(a_n)$ o wyrazach dodatnich, że $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$. Czy stąd wynika, że

26a) $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} na_n=0$?

26b) ciąg $(b_n)$ określony wzorem $b_n=na_n$ nie jest zbieżny do zera?

26c) $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} {1\over a_n}=0$?

26d) $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} {a_n\over 1+ a_n}=0$?

27) Wykonujemy 3 rzuty kostką do gry i mnożymy liczby oczek wyrzuconych w poszczególnych rzutach. Niech p_n będzie prawdopodobieństwem, że otrzymany iloczyn jest podzielny przez n. Czy stąd wynika, że

27a) p₂ > 5/6?

27b) p₃ > 2/3?

27c) p₅ > 1/2?

27d) p₆ > 1/2?

28) Niech $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ oraz $y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$. Czy równość $x_n^{y_n}=y_n^{x_n}$ jest prawdziwa dla

28a) n = 1?

28b) n = 2?

28c) n = 3?

28d) n = 4?

29) W n-kącie wypukłym wpisanym w okrąg, wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Czy stąd wynika, że n-kąt jest foremny, jeśli

29a) n = 5?

29b) n = 6?

29c) n = 8?

29d) n = 15?

30) Komisja składa się z 10 osób. Z jej członków utworzono 3 siedmioosobowe podkomisje, przy czym żadne dwie podkomisje nie mają identycznego składu, a każda osoba zasiada w co najmniej jednej podkomisji. Czy stąd wynika, że

30a) istnieje osoba, która zasiada we wszystkich trzech podkomisjach?

30b) istnieją dwie podkomisje, które mają dokładnie czterech wspólnych członków?

30c) istnieje osoba, która zasiada w dokładnie dwóch podkomisjach?

30d) dla dowolnych dwóch osób istnieje podkomisja, do której obie należą lub podkomisja, do której nie należy żadna z nich?