Zadania 1-10

Data ostatniej modyfikacji:
2013-01-2

Symbole matematyczne można wpisywać w notacji kalkulatorowej lub tex'owej. Można korzystać ze ściągi zamieszczonej na  górze strony na pasku poziomego MENU. Każdy wzór należy poprzedzić napisem tex i zakończyć napisem /tex umieszczonymi w nawiasach kwadratowych.  

 

ZADANIE 1 (1 X 2007)
jury (niezweryfikowany), poniedziałek, 01/10/2007 - 00:05

Podaj przykład prawdziwego zdania, którego zaprzeczenie jest również zdaniem prawdziwym.

ROZWIĄZANIE ZADANIA 1
Karolina M. (niezweryfikowany), poniedziałek, 01/10/2007 - 05:49

"To zdanie ma 5 wyrazów." - jest to zdanie prawdziwe. Po zaprzeczeniu mamy zdanie "To zdanie nie ma 5 wyrazów", które również jest prawdziwe.

 

ZADANIE 2 (1 X 2007)
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n4+4 jest pierwsza.

BRAK ROZWIĄZANIA ZADANIA 2
jury (niezweryfikowany), środa, 10/10/2007 - 21:27

Kostek napisał:

1) dla liczb parzystych
(liczba parzysta)4 = liczba parzysta, liczba parzysta + 4 = liczba parzysta

2) dla liczb nieparzystych (tzn. zakończonych cyfrą nieparzystą)
14 + 4 = 1 + 4 = 5 - liczba pierwsza
......14 + 4 = ......1 + 4 = ......5 - podzielne przez 5, oprócz 5
( ...1 oznacza liczbę zakończoną na 1 i analogicznie dla innych)
......34 + 4 = ......1 + 4 = ......5 - podzielne przez 5,
......74 + 4 = ......1 + 4 = ...5 - podzielne przez 5,
......94 + 4 = ......1 + 4 = ...5 - podzielne przez 5.
 Jedynie ......54 + 4 = ......625 + 4 = ......629
np. 54 + 4 = 625 + 4 = 629 ? podzielne przez 17 i 37.

Odpowiedź: n=1.

Przedstawione rozumowanie jest BŁĘDNE! Czekamy na poprawne.

ROZWIĄZANIE ZADANIA 2
mar (niezweryfikowany), niedziela, 14/10/2007 - 11:28

Musimy zauważyć, że x4+4=(x2+2)2-4x2, a to jest równe (x2 +2+2x)(x2+2-2x) na podstawie wzoru: a2-b2=(a+b)(a-b). Ponieważ to ma być liczba pierwsza, to mniejszy czynnik jest równy 1, czyli x2+2-2x=1. A stąd wychodzi, że x=1.

 

ZADANIE 3 (14 X 2007)
Która liczba jest większa: suma liczb naturalnych większych od 30, mniejszych od 100 i niepodzielnych przez 7, czy suma liczb naturalnych od 1 do 100 bez liczb podzielnych przez 3 i 5?

ROZWIĄZANIE ZADANIA 3
koza (niezweryfikowany), niedziela, 11/11/2007 - 12:07

Zadanie jest niejasne. Czy chodzi o liczby podzielne przez 3 i 5 jednocześnie? Czy "bez liczb podzielnych przez 3 i bez liczb podzielnych przez 5"? Rozwiązuję je w wersji I.

Wszystkie sumy obliczam ze wzoru na ciąg arytmetyczny.

31+32+...+99 = 4485
Należy od tego odjąć 35+42+...+91+98 = 665,
zatem pierwsza liczba to 3820.

1+2+...+100 = 5050
Należy od tego odjąć 15+30+...+75+90 = 315,
zatem druga liczba to 4735 i jest większa!

 

ZADANIE 4 (11 XI 2007)
Rozwiąż nierówność x1000 < x2008.

ROZWIĄZANIE ZADANIA 4
empiotr (niezweryfikowany), niedziela, 11/11/2007 - 23:07

Odrzucamy x=0, x=1 i x=-1 bo wtedy jest równość!
Ponieważ x1000 >0, dzielimy obie strony nierówność przez to właśnie.
Otrzymujemy: 1 < x1008 , czyli 1504 < (x2)504.
Stąd wynika nierówność podstaw: 1 < x2.
Mamy zatem x>1 lub x<-1, czyli rozwiazaniem nierównosci jest zbiór
(-∞, -1)(1, ∞).

 

ZADANIE 5 (11 XI 2007)
Rozwiąż równanie: ||||x-1|+2|-3|+4|=10.

ROZWIĄZANIE ZADANIA 5
Elwira C. (niezweryfikowany), poniedziałek, 24/12/2007 - 04:51

W danym równaniu możemy opuścić moduły na wielkościach, które są nieujemne. Mamy zatem równanie równoważne: ||x-1|-1|+4=10, czyli ||x-1|-1|=6.
To ostatnie równanie łatwo rozwiązać graficznie, przesuwając wykres |x| o jednostkę w prawo i w dół, albo zauważyć, że wynika z niego alternatywa równań: |x-1|-1= ±6. Stąd |x-1|=7, bo moduł może być tylko nieujemny. Zatem x-1=±7, czyli x=-6 lub x=8.

 

ZADANIE 6 (24 XII 2007)
Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek: log2a=log3b=log4c=2.
Oblicz .

ROZWIĄZANIE ZADANIA 6
eMPiotr (niezweryfikowany), wtorek, 08/01/2008 - 23:24

Z warunków zadania a=22, b=32, c=42, więc = 2·3·4=24.

 

ZADANIE 7 (8 I 2008)
Na kiermaszu "Tania i dobra książka" wszystkie pozycje można było kupić za 13 zł, 15 zł lub 17 zł. Piotrek wydał tam aż 94 zł. Ile książek w każdej cenie kupił?

BRAK ROZWIĄZANIA ZADANIA 7
jury (niezweryfikowany), niedziela, 13/01/2008 - 16:42

"osóbka :P:P:P" napisała:
94 zł = 4·17 + 2·13, zatem Piotr kupił 4 książki po 17 zł, 2 książki po 13 zł i nie kupił książek po 15 zł.

To nie jest prawidłowe rozwiązanie. Czekamy na kolejne.

ROZWIĄZANIE ZADANIA 7
eMPiotr (niezweryfikowany), wtorek, 15/01/2008 - 01:43

Zadanie ma trzy rozwiązania:
94 = 1·13 + 2·15 + 3·17
94 = 2·13 + 4·17
94 = 4·15 + 2·17.

 

ZADANIE 8 (15 I 2008) 
Niech zostanie to podane przez "osóbkę :P:P:P:"
Ania otrzymała pudło zawierające 2000 koralików, z których każdy był jednego spośród 5 kolorów. W pudełku było 387 koralików białych, 396 żółtych, 105 czerwonych, 407 zielonych i 705 brązowych. Ania bawiła się nimi w sposób następujący: losowo (nie patrząc do pudła) wyjmowała trzy koraliki. Jeśli były tego samego koloru, to nawlekała je na nić. W przeciwnym razie wkładała je z powrotem do pudła. Po pewnym czasie w pudle pozostały tylko dwa koraliki. Jakiego były koloru

ROZWIĄZANIE ZADANIA 8
Elwira C. (niezweryfikowany), środa, 23/01/2008 - 09:52

Zostaną 2 zielone koraliki, bo tylko 407 przy dzieleniu przez 3 daje resztę (właśnie 2). Pozostałe liczby są podzielne przez 3.

 

ZADANIE 9 (23 I 2008)
Wyznacz NWD i NWW liczb 2222001600030006 i 3333002400045009.

UWAGA
eMPiotr (niezweryfikowany), czwartek, 24/01/2008 - 18:12

To widać, ale jak ktoś nie widzi, może się zakopać w rachunkach. :D

ROZWIĄZANIE ZADANIA 9
Tomasz Lukas (niezweryfikowany), wtorek, 05/02/2008 - 17:27

W przeciwieństwie do eMPiotra uważam, że tu nie ma jak zakopać się w rachunkach pod warunkiem stosowania odpowiednich technik (np. algorytmu Euklidesa).
3333002400045009 : 2222001600030006 = 1 reszta 1111000800015003
2222001600030006 : 1111000800015003 = 2.
Wprowadzając oznaczenia a=3333002400045009 i b=2222001600030006 mamy:
NWD(a, b) = 1111000800015003.
Aby wyznaczyć NWW(a, b) wykorzystam oczywistą zależność
NWD(a, b)·NWW(a, b) = b oraz równości a = 3·NWD(a, b) i b=2·NWD(a, b).
Otrzymujemy stąd NWW(a, b) = 6·NWD(a, b) = 2a = 3b = 6666004800090018.

UWAGA
Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 06/02/2008 - 14:01

Bronię eMPiotra, zwłaszcza że autor rozwiązania jednak się zakopał. Wystarczy zauważyć, że pierwsza z liczb jest półtora raza większa niż druga.
Skoro m = (3/2)n, to NWD(m, n)= n/2 oraz NWW(m, n) = 3m.
I to bez żadnych rachunków!

 

ZADANIE 10 (5 II 2008)
Czy istnieje liczba naturalna będąca kwadratem, której zapis dziesiętny kończy się cyframi 3864?

ROZWIĄZANIE ZADANIA 10
Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 06/02/2008 - 14:01

Taka liczba nie istnieje. Z cechy podzielności przez 8 ("3 ostatnie cyfry") widać, że dana liczba dzieli się przez 8 = 23. Aby był to kwadrat, musiałaby się dzielić także przez 16 = 24. Z cechy podzielności przez 16 ("4 ostatnie cyfry") widać, że tak nie jest.

 

Powrót na górę strony