Symbole matematyczne można wpisywać w notacji kalkulatorowej lub tex'owej. Można korzystać ze ściągi zamieszczonej na górze strony na pasku poziomego MENU. Każdy wzór należy poprzedzić napisem tex i zakończyć napisem /tex umieszczonymi w nawiasach kwadratowych.
ZADANIE 1 (1 X 2007)
jury (niezweryfikowany), poniedziałek, 01/10/2007 - 00:05
Podaj przykład prawdziwego zdania, którego zaprzeczenie jest również zdaniem prawdziwym.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 1
Karolina M. (niezweryfikowany), poniedziałek, 01/10/2007 - 05:49
"To zdanie ma 5 wyrazów." - jest to zdanie prawdziwe. Po zaprzeczeniu mamy zdanie "To zdanie nie ma 5 wyrazów", które również jest prawdziwe.
ZADANIE 2 (1 X 2007)
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba jest pierwsza.
BRAK ROZWIĄZANIA ZADANIA 2
jury (niezweryfikowany), środa, 10/10/2007 - 21:27
Kostek napisał:
1) dla liczb parzystych
liczba parzysta4 = liczba parzysta, liczba parzysta + 4 = liczba parzysta
2) dla liczb nieparzystych (tzn. zakończonych cyfrą nieparzystą)
14 + 4 = 1 + 4 = 5 - liczba pierwsza
......14 + 4 = ......1 + 4 = ......5 - podzielne przez 5, oprócz 5
( ...1 oznacza liczbę zakończoną na 1 i analogicznie dla innych)
......34 + 4 = ......1 + 4 = ......5 - podzielne przez 5,
......74 + 4 = ......1 + 4 = ...5 - podzielne przez 5,
......94 + 4 = ......1 + 4 = ...5 - podzielne przez 5.
Jedynie ......54 + 4 = ......625 + 4 = ......629
np. 54 + 4 = 625 + 4 = 629 ? podzielne przez 17 i 37.
Odpowiedź: n=1.
Przedstawione rozumowanie jest BŁĘDNE! Czekamy na poprawne.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 2
mar (niezweryfikowany), niedziela, 14/10/2007 - 11:28
Musimy zauważyć, że x4+4=(x2+2)2-4x2, a to jest równe (x2 +2+2x)(x2+2-2x) na podstawie wzoru: a2-b2=(a+b)(a-b). Ponieważ to ma być liczba pierwsza, to mniejszy czynnik jest równy 1, czyli x2+2-2x=1. A stąd wychodzi, że x=1.
ZADANIE 3 (14 X 2007)
Która liczba jest większa: suma liczb naturalnych większych od 30, mniejszych od 100 i niepodzielnych przez 7, czy suma liczb naturalnych od 1 do 100 bez liczb podzielnych przez 3 i 5?
ROZWIĄZANIE ZADANIA 3
koza (niezweryfikowany), niedziela, 11/11/2007 - 12:07
Zadanie jest niejasne. Czy chodzi o liczby podzielne przez 3 i 5 jednocześnie? Czy "bez liczb podzielnych przez 3 i bez liczb podzielnych przez 5"? Rozwiązuję je w wersji I.
Wszystkie sumy obliczam ze wzoru na ciąg arytmetyczny.
31+32+...+99 = 4485
Należy od tego odjąć 35+42+...+91+98 = 665,
zatem pierwsza liczba to 3820.
1+2+...+100 = 5050
Należy od tego odjąć 15+30+...+75+90 = 315,
zatem druga liczba to 4735 i jest większa!
ZADANIE 4 (11 XI 2007)
Rozwiąż nierówność x1000 < x2008.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 4
empiotr (niezweryfikowany), niedziela, 11/11/2007 - 23:07
Odrzucamy x=0, x=1 i x=-1 bo wtedy jest równość!
Ponieważ x1000 >0, dzielimy obie strony nierówność przez to właśnie.
Otrzymujemy: 1 < x1008 , czyli 1504 < (x2)504.
Stąd wynika nierówność podstaw: 1 < x2.
Mamy zatem x>1 lub x<-1, czyli rozwiazaniem nierównosci jest zbiór
(-∞, -1)(1, ∞).
ZADANIE 5 (11 XI 2007)
Rozwiąż równanie: ||||x-1|+2|-3|+4|=10.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 5
Elwira C. (niezweryfikowany), poniedziałek, 24/12/2007 - 04:51
W danym równaniu możemy opuścić moduły na wielkościach, które są nieujemne. Mamy zatem równanie równoważne: ||x-1|-1|+4=10, czyli ||x-1|-1|=6.
To ostatnie równanie łatwo rozwiązać graficznie, przesuwając wykres |x| o jednostkę w prawo i w dół, albo zauważyć, że wynika z niego alternatywa równań: |x-1|-1= ±6. Stąd |x-1|=7, bo moduł może być tylko nieujemny. Zatem x-1=±7, czyli x=-6 lub x=8.
ZADANIE 6 (24 XII 2007)
Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek: log2a=log3b=log4c=2.
Oblicz .
ROZWIĄZANIE ZADANIA 6
eMPiotr (niezweryfikowany), wtorek, 08/01/2008 - 23:24
Z warunków zadania więc
.
ZADANIE 7 (8 I 2008)
Na kiermaszu "Tania i dobra książka" wszystkie pozycje można było kupić za 13 zł, 15 zł lub 17 zł. Piotrek wydał tam aż 94 zł. Ile książek w każdej cenie kupił?
BRAK ROZWIĄZANIA ZADANIA 7
jury (niezweryfikowany), niedziela, 13/01/2008 - 16:42
"osóbka :P:P:P" napisała:
94 zł = 4·17 + 2·13, zatem Piotr kupił 4 książki po 17 zł, 2 książki po 13 zł i nie kupił książek po 15 zł.
To nie jest prawidłowe rozwiązanie. Czekamy na kolejne.
ROZWIĄZANIE ZADANIA 7
eMPiotr (niezweryfikowany), wtorek, 15/01/2008 - 01:43
Zadanie ma trzy rozwiązania:
94 = 1·13 + 2·15 + 3·17
94 = 2·13 + 4·17
94 = 4·15 + 2·17.
ZADANIE 8 (15 I 2008)
Niech zostanie to podane przez "osóbkę :P:P:P:"
Ania otrzymała pudło zawierające 2000 koralików, z których każdy był jednego spośród 5 kolorów. W pudełku było 387 koralików białych, 396 żółtych, 105 czerwonych, 407 zielonych i 705 brązowych. Ania bawiła się nimi w sposób następujący: losowo (nie patrząc do pudła) wyjmowała trzy koraliki. Jeśli były tego samego koloru, to nawlekała je na nić. W przeciwnym razie wkładała je z powrotem do pudła. Po pewnym czasie w pudle pozostały tylko dwa koraliki. Jakiego były koloru
ROZWIĄZANIE ZADANIA 8
Elwira C. (niezweryfikowany), środa, 23/01/2008 - 09:52
Zostaną 2 zielone koraliki, bo tylko 407 przy dzieleniu przez 3 daje resztę (właśnie 2). Pozostałe liczby są podzielne przez 3.
ZADANIE 9 (23 I 2008)
Wyznacz NWD i NWW liczb 2222001600030006 i 3333002400045009.
UWAGA
eMPiotr (niezweryfikowany), czwartek, 24/01/2008 - 18:12
To widać, ale jak ktoś nie widzi, może się zakopać w rachunkach. :D
ROZWIĄZANIE ZADANIA 9
Tomasz Lukas (niezweryfikowany), wtorek, 05/02/2008 - 17:27
W przeciwieństwie do eMPiotra uważam, że tu nie ma jak zakopać się w rachunkach pod warunkiem stosowania odpowiednich technik (np. algorytmu Euklidesa).
3333002400045009 : 2222001600030006 = 1 reszta 1111000800015003
2222001600030006 : 1111000800015003 = 2.
Wprowadzając oznaczenia a=3333002400045009 i b=2222001600030006 mamy:
NWD(a, b) = 1111000800015003.
Aby wyznaczyć NWW(a, b) wykorzystam oczywistą zależność
NWD(a, b)·NWW(a, b) = a·b oraz równości a = 3·NWD(a, b) i b=2·NWD(a, b).
Otrzymujemy stąd NWW(a, b) = 6·NWD(a, b) = 2a = 3b = 6666004800090018.
UWAGA
Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 06/02/2008 - 14:01
Bronię eMPiotra, zwłaszcza że autor rozwiązania jednak się zakopał. Wystarczy zauważyć, że pierwsza z liczb jest półtora raza większa niż druga.
Skoro m = (3/2)n, to NWD(m, n)= n/2 oraz NWW(m, n) = 3m.
I to bez żadnych rachunków!
ZADANIE 10 (5 II 2008)
Czy istnieje liczba naturalna będąca kwadratem, której zapis dziesiętny kończy się cyframi 3864?
ROZWIĄZANIE ZADANIA 10
Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 06/02/2008 - 14:01
Taka liczba nie istnieje. Z cechy podzielności przez 8 ("3 ostatnie cyfry") widać, że dana liczba dzieli się przez 8 = 23. Aby był to kwadrat, musiałaby się dzielić także przez 16 = 24. Z cechy podzielności przez 16 ("4 ostatnie cyfry") widać, że tak nie jest.
XIII Dolnośląski Festiwal Nauki w dniach 16-22 IX to ponad 800 imprez popularnonaukowych, w tym tradycyjny Maraton matematyczny, Spotkania matematyczne, warsztaty gier logicznych oraz pokazy w szkołach. 
Hasio Sypa zdał do gimnazjum. Po dwóch tygodniach dostał pierwszą dwójkę z matematyki, gdyż pan profesor spytał, ile to czyni 18 razy 5, a Hasio miał nieostrożność spytać, co to znaczy "czyni", bo nigdy jeszcze czegoś podobnego nie słyszał. "Ach, nie wiesz, co to jest "czyni"? Siadaj, masz dwóję". I pan profesor stwierdził raz na całe życie, że Hasio jest tępy i matematyki nigdy nie pojmie. Od tej pory Hasio przestał się w ogóle uczyć matematyki, bo i tak nie warto.
Co się dzieje, gdy wilk uporczywie goni zająca, a nie może go złowić? Okazuje się, że staje się z upływem czasu wilkiem okresowym. Jak to możliwe?
Dlaczego pociąg jak jedzie, to stuka? Elementem poruszającym się po torze jest koło. Obręcz koła to nic innego jak okrąg. Wzór na długość okręgu to 2πr, gdzie 2 to stała, r - określony promień, a π to trzy z hakiem. I to ten hak tak stuka!
Podczas minionych wakacji odbyły się w Peczu (Węgry) wystawa i konferencja „Bridges” poświęcone sztuce inspirowanej matematyką. Honorowym gościem był najbardziej znany dziś Węgier – Ernö Rubik.
Popieramy akcję uhonorowania przez Samorząd Wrocławia tablicą pamiątkową wybitnego matematyka, prof. Kazimierza Urbanika (1930-2005), absolwenta matematyki i fizyki na Uniwersytecie Wr, późniejszego dyrektora IM UWr i rektora uczelni.
