styczeń 2026

Zad. 1. Przyjmijmy długość boku kwadratu tworzącego krzyż jako a. Całkowite pole figury to 5a². Rozważmy pionowy odcinek łączący lewe wierzchołki górnego i dolnego kwadratu (jego długość to 3a) oraz równoległy do niego odcinek łączący prawy górny kąt wewnętrzny krzyża z prawym dolnym wierzchołkiem figury (jego długość to 2a). Przekątne poprowadzone z końców tych odcinków przecinają się, tworząc dwa trójkąty podobne w skali 2/3. Odległość w poziomie między tymi pionowymi odcinkami wynosi a, więc ze skali podobieństwa wynika, że punkt przecięcia jest oddalony w poziomie o 3a/5 od dłuższego boku i o 2a/5 od krótszego. Zamalowany czworokąt dzielimy na dwa trójkąty. Pierwszy, oparty na górnej krawędzi figury (podstawa a), ma wysokość równą odległości punktu przecięcia od górnego boku. Z podobieństwa trójkątów punkt ten znajduje się na wysokości 6a/5 od dolnej krawędzi układu, więc jego odległość od góry wynosi 3a – 6a/5 = 9a/5. Pole tego trójkąta to 9a²/10. Drugi trójkąt, oparty na prawym górnym wewnętrznym pionowym boku krzyża (podstawa a), ma wysokość równą odległości punktu od tego boku, czyli 2a/5. Jego pole to 2a²/10. Sumaryczne pole czworokąta wynosi 11a²/10, co stanowi dokładnie 11/50 pola całego dwunastokąta. 

Zad. 2. Z założeń zadania możemy wyznaczyć wartości kwadratów zmiennych. Przyrównując pierwszy człon równości do drugiego, otrzymujemy x² = y² + z – y. Mnożąc to równanie obustronnie przez x, uzyskujemy x³ = xy² + zx – xy. Analogicznie postępujemy dla pozostałych zmiennych. Z równania y² = z² + x – z po pomnożeniu przez y otrzymujemy y³ = yz² + xy – yz. Natomiast z równania z² = x² + y – x po pomnożeniu przez z mamy z³ = zx² + yz – zx. Dodając stronami te trzy wyznaczone równania, zauważamy, że wszystkie składniki zawierające iloczyny dwóch różnych zmiennych w pierwszej potędze (czyli zx, –xy, xy, –yz, yz oraz –zx) całkowicie redukują się do zera. Po ich wykreśleniu pozostaje dowodzona teza: x³ + y³ + z³ = xy² + yz² + zx². 

Zad. 3. Aby w zbiorze {16, 17, ..., n} móc wybrać 15 różnych liczb, zbiór ten musi zawierać co najmniej 15 elementów. Liczność zbioru wynosi n – 15, więc z warunku n – 15 ≥ 15 otrzymujemy n ≥ 30. Wobec tego w dostępnej puli znajdują się na pewno liczby pierwsze: 17, 19, 23 oraz 29. Zgodnie z poleceniem, każda wybrana liczba a_k (dla 1 ≤ k ≤ 15) musi być wielokrotnością swojego indeksu k. Gdyby jedną z wybranych liczb była dowolna z wymienionych liczb pierwszych, to z warunku podzielności wynikałoby, że przypisany do niej indeks k musi być równy 1 (przypadek k > 1 prowadzi do sprzeczności, gdyż wtedy k = a_k ≥ 17, a z założenia wiemy, że k ≤ 15). Wynika z tego, że do konstrukcji wymaganego wyboru możemy użyć najwyżej jednej liczby pierwszej równej lub większej od 17. Mając do dyspozycji cztery takie liczby (dla n ≥ 30), musimy całkowicie odrzucić co najmniej trzy z nich z puli dostępnych wartości. Skutkuje to zwiększeniem minimalnej pojemności zbioru do 15 + 3 = 18 elementów. Z równania n – 15 ≥ 18 wynika z kolei, że n ≥ 33. Poszerzenie przedziału sprawia, że do zbioru dołącza kolejna liczba pierwsza wynosząca 31. Ponownie stosując tę samą logikę: z pięciu dostępnych liczb pierwszych użyć możemy tylko jednej, co zmusza do odrzucenia aż czterech z nich. Minimalna konieczna liczba elementów zbioru rośnie więc do 15 + 4 = 19, z czego wynika ostateczny warunek n – 15 ≥ 19, czyli n ≥ 34. Zbiór ten jest w pełni realizowalny dla n = 34, co potwierdza bezpośrednie przypisanie: a₁ = 17, a₂ = 34, a₃ = 33, a₄ = 32, a₅ = 25, a₆ = 18, a₇ = 21, a₈ = 16, a₉ = 27 oraz a_k = 2k dla wszystkich indeksów w przedziale 10 ≤ k ≤ 15. Szukaną najmniejszą możliwą wartością n jest zatem 34.