Zad. 1. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite d takie, że jeśli d dzieli dodatnią liczbę całkowitą n, to d dzieli również każdą liczbę całkowitą otrzymaną poprzez przestawienie cyfr
liczby n.
Zad. 2. Niech P będzie punktem wewnątrz kwadratu ABCD takim, że PA : PB : PC wynosi
1 : 2 : 3. Wyznacz miarę kąta BPA.
Zad. 3. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których ponizszy układ równań ma rozwiązanie w parach liczb całkowitych x, y.
p + 1 = 2x2
p2 + 1 = 2y2
W tym miesiącu punkty zdobył:
- 18 - Jakub Ceynowa (SP 95 Wrocław)
Gratulujemy!
Zad. 1. Odpowiedź: d = 1, d = 3 lub d = 9. Wiadomo, że 1, 3 i 9 mają podaną własność. Załóżmy, że d jest k-cyfrową liczbą taką, że jeśli d dzieli liczbę całkowitą n, to d dzieli również każdą liczbę całkowitą m mającą te same cyfry co n. Wtedy istnieje (k+2)-cyfrowa liczba 10a1a2...ak, która jest podzielna przez d. Stąd a1a2...ak10 oraz a1a2...ak01 są również podzielne przez d. Ponieważ a1a2...ak10 - a1a2...ak01 = 9, to d dzieli 9, a zatem d = 1, d = 3 lub d = 9.
Zad. 2. Obróćmy trójkąt ABP o 90° wokół punktu B tak, aby A przeszło na C, a P zostało odwzorowane na nowy punkt Q. Wtedy |∡PBQ| = |∡PBC|+|∡CBQ| = |∡PBC|+|∡ABP| = 90°. Stąd trójkąt PBQ jest prostokątny i równoramienny, a |∡BQP| = 45°. Z twierdzenia Pitagorasa |PQ|2 = 2|PB|2 = 8|AP|2. Ponieważ |CQ|2+|PQ|2 = |AP|2+8|AP|2 = 9|AP|2 = |PC|2, na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt PQC jest prostokątny, a zatem |∡BPA| = |∡BQC| = |∡BQP|+|∡PQC| = 45°+90° = 135°.
Zad. 3. Jedyną taką liczbą pierwszą jest p = 7. Załóżmy bez straty ogólności, że x, y ≥ 0. Zauważmy, że p + 1 = 2x2 jest parzyste, co oznacza, że p ≠ 2. Dodatkowo 2x2 ≡ 1 ≡ 2y2 (mod p), co pociąga za sobą x ≡ ±y (mod p) (jako że p jest nieparzyste). Skoro x<y<p, musimy mieć x+y = p. Wtedy p2+1 = 2(p–x)2 = 2p2–4px+2x2 = 2p2–4px+p+1, skąd wynika p - 4x+1 = 0, a co za tym idzie p = 4x– 1. Wstawiając to do pierwszego równania, mamy 4x = 2x2, czyli x = 0 lub x = 2. Wynika z tego, że p może wynosić -1 lub 7. Oczywiście -1 nie jest liczbą pierwszą, natomiast dla p = 7 rozwiązaniem układu jest para (2, 5).
