Do 27 V przyjmowane są zgłoszenia do XXIV Mistrzostw Polski w Geometrii Elementarnej, które odbędą się w kategoriach "Junior" (kl. 7-8 SP) i "Open" 13 VI we Wrocławiu. Zapraszamy!
Zad. 1. W trójkącie ABC punkty E, F i G są spodkami wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków A, B i C. Niech G1 i G2 oznaczają rzuty punktu G odpowiednio na boki AC i BC. Wykaż, że prosta G1G2 dzieli odcinki GE i GF na połowy.
Zad. 2. W trójkącie ABC miary kątów A, B, C wynoszą odpowiednio α, α+β i 3α+β. Wiedząc, że |AC|=3 i |AB|=4, oblicz długość BC.
Zad. 3. W trójkącie ABC mamy |∡A|=54°, |∡B|=90° i |AC|=2. Na boku BC obrano punkt E taki, że |CE|=1. Bok AB przedłużono (poza punkt B) do punktu D takiego, że |ED|=2. Oblicz miarę kąta BDE.
Zad. 4. (wolna amerykanka) Wykaż, że pole trójkąta ostrokątnego ABC jest równe iloczynowi połowy obwodu trójkąta spodkowego H1H2H3 (Hi oznaczają spodki wysokości trójkąta ABC) przez długość promienia okręgu opisanego na ABC.
W tym miesiącu za zadania 1-3 punkty uzyskali:
- 30 - Jacek Bagiński (nauczyciel matematyki, I LO Kraków), Iwona Gruszecka (nauczycielka matematyki, CLV LO Warszawa), Elżbieta Grzechnik (emerytowana nauczycielka z Radomia), Mikołaj Popek (student UAM), Tadeusz Porzucek (emerytowany nauczyciel z Gostynia), Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork) oraz Marzena Wąsiewicz (nauczycielka z Kajetan).
- 20 - Hanna Fudala (I LO Kraków).
Za zadanie 4 po 10 punktów otrzymali: Jacek Bagiński, Elżbieta Grzechnik, Mateusz Jagoda, Zygmunt Krawczyk (emerytowany nauczyciel ze Szprotawy), Szymon Meyer (analityk danych z Dziewkowic), Mikołaj Popek, Tadeusz Porzucek oraz Marzena Wąsiewicz.
Gratulacje!
Zad. 1. Wystarczy wykazać, że G2L i G1K są środkowymi w trójkątach prostokątnych GG2E i GG1F. Na czworokącie AGEC można opisać okrąg, stąd |∡GEG2| = α. Z drugiej strony współokręgowe są też punkty G1GG2C, skąd |∡G1G2C| = |∡G1GC| = α. Łatwo zauważyć, że
|∡G1G2G| = |∡EGG2| = 90°–α, zatem trójkąty LG2E i LGG2 są równoramienne, przy czym
|GL|=|LE|. Analogicznie |GK|=|KF|.
Zad. 2. Obierzmy na AB punkt D taki, że |∡DCB|=α. Wówczas trójkąt ADC jest równoramienny, skąd |DB|=1. Z podobieństwa trójkątów DBC i ABC wynika, że |BC|/4 = 1/|BC|, skąd |BC|=2.
Zad. 3. Niech M i N będą odpowiednio środkami odcinków AC i ED. Wówczas |MB|=|BN|=1
(z własności środkowej przeciwprostokątnej) oraz |∡MBC|=36°. W trójkącie równoramiennym MEC mamy |∡MEC|=72°=|∡BEN|, stąd w trójkącie równoramiennym BNE mamy |∡BNE|=36°. Jest on kątem zewnętrznym w trójkącie równoramiennym BDN, stąd |∡BDE|=18°.
Zad. 4. Rozważmy czworokąt AH3OH2. Wykażemy, że jego przekątne AO i H2H3 są prostopadłe.
Z własności trójkąta spodkowego (patrz zad. 2 październik 2014) mamy |∡AH3H2| = γ. Z kolei
|∡AOM3| = γ = |∡AOB| = 2γ/2, skąd |∡OAM3| = |∡OAH3| = 90°–γ, zatem |∡AKH3|=90°. Otrzymujemy PAH3OH2 = (|AO|·|H2H3|)/2 = R·|H2H3|/2. Analogicznie dla czworokątów H3BH1O i H2OH1C otrzymujemy PH3BH2O = R·|H3H1|/2 i PH2OH1C = R·|H1H2|/2. Sumując otrzymane pola, otrzymujemy tezę.
