Zad. 1. Idą święta. Postanowiłeś zbudować przed domem 5-metrowego bałwana. Ponieważ cenisz sobie czyste środowisko, chcesz go zbudować z materiałów pochodzących z recyclingu - plastikowych butelek (PET). Bałwan ma być pusty w środku (niczym skorupka jajka). Zrób szkic poglądowy modelu bałwana oraz oblicz, ile butelek potrzebujesz, żeby zrealizować pomysł. Podaj wszystkie przyjęte założenia. Dla ujednolicenia rachunków przyjmujemy, że butelka widziana z przodu ma 24 cm wysokości i 10 cm szerokości.
Zad. 2. Dane są dwa styczne wewnętrznie okręgi O1 i O2 o promieniach odpowiednio R1=12 i R2=2. Na okręgu O2 zaznaczono punkt A.
a) Jaki ślad pozostawi punkt A, jeśli okrąg O2 będzie toczyć się po okręgu O1?
b) Jaką inną długość może mieć promień R2, aby otrzymać ten sam efekt?
Rozwiązanie można wykonać w GeoGebrze.
Zad. 3. Rozwiąż poniższy algebraf, wiedząc, że litery są przyporządkowane cyfrom wzajemnie jednoznacznie, żadna liczba nie zaczyna się zerem, a A, B i C to trzy kolejne cyfry. Uzasadnij, że znalazłeś wszystkie możliwe rozwiązania.
ABC = E·FGH
W tym miesiącu następujące liczby punktów zdobyły:
- 2,75 pkt. - Andrzej Piasecki - administrator IT z Oleśnicy, Tomasz Tomiczek - nauczyciel z Lipowej
- 1 pkt. - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy, Krzysztof Danielak - student informatyki przemysłowej na PWr
Po trzech miesiącach trwania Ligi w czołówce znajdują się:
- 8,75 pkt. - Andrzej Piasecki
- 7,25 pkt. - Krystyna Lisiowska
- 6,75 pkt. - Tomasz Tomiczek
- 3 pkt. - Michał Żłobicki
- 1 pkt. - Krzysztof Danielak
Zad. 1. Zadanie dawało pełną dowolność w doborze środków i metod w osiągnięciu celu, z zachowaniem danych wejściowych. Tak samo jak czasami/często (niepotrzebne skreślić) pojawia się sytuacja, w której mamy rozwiązać problem bez liczenia się z kosztami. Cieszy bardzo mnogość rozwiązań i pomysłów. Pozwólcie, że nie umieszczać dokładnych rozwiązań, a nakreślę ideę rozwiązania, gdyż każde z rozwiązań jest inne.
a) Ze względów rachunkowych lepiej było wybrać dwie lub trzy kule o tej samej średnicy, chociaż można było zastosować rozwiązanie do różnych promieni.
b) Najsensowniejsze ustawienie butelek (moim zdaniem), to tworzenie pierścieni (lub równoleżników), w których butelki leżą poziomo jedna za drugą. Drugą opcją budowy pierścieni było skierowanie butelek nakrętką do środka.
c) Jak obliczyć liczbę butelek? Każdą z kul rozcinamy wzdłuż równoleżników. Trzeba obliczyć, ile butelek przypada na dany pierścień. Obwód danego równoleżnika należy podzielić przez średnicę lub wysokość butelki (w zależnosci od metody układania). Jak znaleźć obwód pierścienia? Wystarczy znaleźć jego promień. Do tego wystarczy posłużyć się wzorami cos α = r/R (gdzie α to szerokość geograficzna, r to szukany promień równoleżnika, a R to promień kuli) oraz sin (β/2)= 0,1/(2R) (gdzie β to kąt widzenia kolejnej warstwy, α jest wielokrotnością β).
d) Alternatywnym rozwiązaniem jest podzielenie powierzchni kuli przez pole powierzchni bocznej jednej butelki.
e) Kolejnym ułatwieniem jest odwołanie się do realizmu. Kule śniegowe, z których budujemy bałwana, stykają się nie w jednym punkcia a wzdłuż równoleżnika.
Zakres wyników: 1135 – 4040.
Zad. 2. Poszukiwany kształt jest przypadkiem hipocykloidy.
a) Szukany kształt to sześcioramienna gwiazda krzywoliniowa.
b) Ten sam kształt dostaniemy dla promieni R2=10 (nie zmieni się rozmiar rysunku) oraz 72 (zmieni się rozmiar rysunku).
Zad. 3. Odwołując się do polecenia: "A, B i C to trzy kolejne cyfry", jednoznacznie jest zdeterminowane, jaka zależność łączy A, B i C. Rozwiązanie:
a) ABC może być jedną z liczb: 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789.
b) E nie może być równe 1, bo wtedy ABC byłoby równe FGH, zatem odpada liczba 123.
c) E nie może być większe lub równe 7, bo wtedy A byłoby większe od 7.
d) 234 = 2*3*3*13, możliwe E = 6, wtedy 234 = 6*39 - sprzeczność.
e) 345 = 3*5*23, sprzeczność, bo 3 i 5 występują już w zapisie.
f) 456 = 2*2*2*3*19, możliwe E = 2 lub 3, wtedy 456 = 2*228 lub 456 = 3*152 - obie możliwości dają sprzeczność.
g) 567 = 3*3*3*3*7, możliwe E = 3, wtedy 567 = 3*189 -> rozwiązanie.
h) 678 = 2*3*113, możliwe E = 2 lub 3, wtedy 678 = 2*339 lub 678 = 3*223 - sprzeczność.
i) 789 = 3*263 - sprzeczność.
(E równe cyfrze z zapisu liczby ABC lub większe, lub równe 7 zostały pominięte.)
