Zad. 1. Ile wierzchołków ma wielokąt, suma kątów którego jest siedem razy mniejsza niż suma kątów szesnastokąta?
Zad. 2. Jaka jest największa liczba, która jest długością boku pewnego trójkąta pitagorejskiego, którego inny bok ma długość 2009?
Zad. 3. Na okręgu leży 6 punktów. Ile co najmniej odcinków je łączących trzeba narysować, by musiał powstać trójkąt wpisany w ten okrąg?
Zadania grudniowe bezbłędnie (3 pkt.) rozwiązało czworo licealistów:
Rafał Chojna z PLO im. Królowej Jadwigi w Lublinie, Agata Maciocha z III LO w Opolu oraz Maciej Niemczyk i Justyna Wozowczyk i z I LO w Lubinie.
Po trzech miesiącach w Lidze Szkół Ponadgimnazjalnych czołówkę stanowią:
z 9 pkt. na 9 możliwych - Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie,
z 8 pkt. - Agata Maciocha z III LO w Opolu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Na różne sposoby można dowieść (dla wielokątów foremnych robi się to też często w szkole - dzieląc n-kąt na n trójkątów), że suma kątów n-kąta wynosi (n-2)·180°. Mamy więc równanie: (x-2)·180°·7=(16-2)·180°, skąd 7(x-2)=14, czyli x=4.
Zad. 2. Jeśli istnieją trójkąty pitagorejskie o krótszej przyprostokątnej długości 2009, to odpowiedzią będzie długość przeciwprostokątnej "najcieńszego" z nich (tj. tego, którego dłuższa przyprostokątna i przeciwprostokątna są najdłuższe). Oznaczmy tę przeciwprostokątną przez z, a dłuższą przyprostokątną przez x. Z twierdzenia Pitagorasa mamy wówczas: (z-x)(z+x)=20092. Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość możliwie najbliższą x, więc z-x=1, a wtenczas z+x=20092, skąd z=(20092+1)/2=2018041.
Zad. 3. Da się narysować 9 odcinków, tak by warunki zadania nie były spełnione: AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE i CF, natomiast szukaną liczbą jest 10: przy narysowanych 10 odcinkach wierzchołek, z którego poprowadzono ich najwięcej, musi być końcem co najmniej 4 odcinków (w przeciwnym razie z każdego wychodziłyby najwyżej 3 odcinki, czyli w sumie mielibyśmy ich najwyżej 6·3/2=9 - sprzeczność); wówczas oznaczmy ten punkt przez P, a punkty z nim połączone przez A, B, C, D. Wszystkich możliwych połączeń 6 punktów jest 6·5/2=15, a czterech 4·3/2=6. Odcinków jest 10, więc przynamniej jeden musi łączyć któreś spośród punktów A, B, C, D, a wraz z połączeniami jego końców z P daje on trójkąt.
