Zad. 1. T jest trójkątem równoramiennym. Nazwijmy, niezależnie od ich położenia, wierzchołki jego podstawy przez A i B, trzeci wierzchołek przez C, a środek odcinka AB przez D. Podczas porannej gimnastyki T powtarza 2009 razy następującą sekwencję ruchów: przesunięcie o metr zgodnie z wektorem DC, obrót o 90° w prawo wokół prostopadłej do T prostej przechodzącej przez jego środek ciężkości, kolejne przesunięcie o metr zgodnie z (inaczej już wówczas położonym!) wektorem DC i obrót o 90° wokół prostej CD. Ile wynosi wypadkowe przemieszczenie środka ciężkości T?
Zad. 2. Ile miejsc zerowych ma funkcja [tex]f(x)=\sqrt{x+1}-x+q[/tex] w zależności od wartości q?
Zad. 3. Niech p oznacza liczbę pierwszą większą od 2. Ile różnych reszt z dzielenia przez p dają kwadraty liczb całkowitych? Uzasadnij odpowiedź!
Maksymalnej liczby 3 pkt. w czerwcu nie uzyskał nikt. Po 2 pkt. natomiast otrzymali Justyna Wozowczyk i Rafał Chojna.
Była to ostatnia edycja Ligi w tym roku szkolnym. Wzięło w niej udział 17 osób. Rywalizacja do końca była bardzo zacięta. Najwięcej punktów (na 27 możliwych) zdobyli:
I miejsce (25,5 pkt.)
Justyna Wozowczyk - I LO Lubin
II miejsce (23,5 pkt.)
Maciej Niemczyk - I LO Lubin
III miejsce (22,5 pkt.)
Rafał Chojna - I LO Lublin
Gratulujemy! Nagrody wyślemy pocztą.
Zad. 1. Trzykrotne wykonanie sekwencji ruchów opisanej w zadaniu to przesunięcie T o wektor [2, 2, 2] w odpowiednio dobranym układzie współrzędnych (o narzucających się osiach wyznaczonych przez początkowe położenie T). 2009:3 = 669, r. 2, a dwie kolejne sekwencje dają przesunięcie środka ciężkości o wektor [1, 1, 2]. Odpowiedzią jest więc długość wektora [1339, 1339, 1340], czyli [tex]\sqrt{2\cdot1339^2+1340^2}=\sqrt{3588521}[/tex].
Zad. 2. 0 miejsc zerowych dla q<-5/4, 1 miejsce zerowe dla [tex]q\in\{-\frac{5}{4}\}\cup(-1,\infty)[/tex], 2 miejsce zerowe dla [tex]q\in(-\frac{5}{4},-1\rangle[/tex]. Odpowiedź można uzyskać dzięki naszkicowaniu wykresu i ustalenia wartości -5/4 przez sprawdzenie, kiedy odpowiednie równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.
Zad. 3. Każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako kp+a, gdzie a jest liczbą całkowitą z przedziału [tex]\langle-\frac{p-1}{2},\frac{p-1}{2}\rangle[/tex] (dlaczego?). Kwadrat liczby kp+a daje tę samą resztę przy dzieleniu przez p co kwadrat kp–a (dlaczego?), natomiast dla różnych b i c ze zbioru [tex]\{0,1,2,\frac{p-1}{2}\}[/tex] liczby (kp+b)2 i (kp+c)2 dają różne reszty - gdyby dawały takie same, p musiałoby dzielić b2–c2 = (b–c)(b+c), co jest niemożliwe, ponieważ p jest pierwsze, a liczby b–c i b+c są z przedziału [tex]\langle-\frac{p-1}{2},p)[/tex]. Odpowiedzią jest więc [tex]1+\frac{p-1}{2}=\frac{p+1}{2}[/tex].
