Chatakerystyka Eulera

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-28
Autor: 
Sebastian Guz
Dział matematyki: 
topologia

Definicja:

Niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie. Liczba opisująca strukturę powierzchni (traktowanej jako przestrzeń topologiczną):$$\chi(g)=2 - 2g;$$gdzie: g oznacza genus powierzchni (liczba dziur powierzchni).

Klasyczna definicja:

Pierwotnie charakterystyka Eulera została zdefiniowana dla wielościanów jako liczba $\chi$:$$\chi = W-K+S,$$gdzie:
W- liczba wierzchołków wielościanu,
K - liczba krawędzi wielościanu,
S - liczba ścian wielościanu.

Uogólniona definicja:

Każdą krawędź można potraktować jako ścianę jednowymiarową, a każdy wierzchołek wielościanu jako ścianę zerowymiarową. Uogólnieniem wielościanu na przestrzenie Euklidesowe n-wymiarowe są wielotopy. Dla nich powyższy wzór przyjmuje ogólną postać:$$\chi = k_0 - k_1 + k_2 - ... + (-1)^{n-1} \cdot k_{n-1},$$gdzie: $k_i$ - liczba ścian i-wymiarowych dla liczb naturalnych i mniejszych od wymiaru n rozpatrywanej przestrzeni.

Twierdzenie Eulera o wielościanach:

Charakterystyka Eulera $\chi$ wielościanów wypukłych równa jest 2.

Na mocy twierdzenia, że charakterystyka Eulera jest niezmiennikiem topologicznym, można wnioskować: $\chi = 2$ dla dowolnej powierzchni homeomorficznej z wielościanem wypukłym (czyli takiej, którą można bez sklejania i rozrywania przekształcić na wielościan wypukły).

Przykłady:

  • wstęga Möbiusa, butelka Kleina, powierzchnia boczna walca, torus mają charakterystyki Eulera równe 0;
  • n-torus ma charakterystykę Eulera równą -2(n-1);
  • płaszczyzna rzutowa ma charakterystykę Eulera równą 1;

Powrót na górę strony